[論文レビュー] Etale realization on the A^1-homotopy theory of schemes

Daniel C. Isaksen|ArXiv.org|Jun 19, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、エタール実現を用いて、スキームの $Å^1$-ホモトピー圏からプロ空間のホモトピー圏への関手を確立し、正標数におけるホモトピー論的技法の適用を可能にする。主な貢献は、エタール上を越えるハイパーカバーの降下性を示し、ハイパーカバー解像と整合性を保ち、任意の体への解析的実現の拡張を可能にすることにある。

ABSTRACT

We compare Friedlander's definition of the etale topological type for simplicial schemes to another definition involving realizations of pro-simplicial sets. This can be expressed as a notion of hypercover descent for etale homotopy. We use this result to construct a homotopy invariant functor from the category of simplicial presheaves on the etale site of schemes over S to the category of pro-spaces. After completing away from the characteristics of the residue fields of S, we get a functor from the Morel-Voevodsky A^1-homotopy category of schemes to the homotopy category of pro-spaces.

研究の動機と目的

• 特徴がゼロでない体上のスキームへまで、解析的実現を特徴がゼロのときのものから拡張すること。
• エタールサイト上の単体的プレシェーブのホモトピー的不変関手を、プロ空間へと定義し、$Å^1$-ホモトピー理論と整合させること。
• エタール上を越えるハイパーカバーの降下性を、エタールトポロジカル型に対して確立し、ハイパーカバー解像と一貫性を保つこと。
• プロ空間値関手を用いて、正標数における $Å^1$-ホモトピー理論の計算的道具を提供すること。
• 将来の安定化および等長的拡張のための、プロ空間ホモトピー理論における基礎的土台を築くこと。

提案手法

• 単体的スキームのフリードランダーの定義を一般化して、プロ単体的集合を用いたスキームのエタールトポロジカル型を定義する。
• エタールサイト上の単体的プレシェーブからプロ空間への左クィルレン関手を構成し、ホモトピー的不変性を保証する。
• エタールハイパーカバー降下性を証明する：任意のエタールハイパーカバー $U\to X$ に対して、$n\to \text{Et}U_n$ の単体的プロ空間の実現は $\text{Et}X$ と弱同値である。
• 剛体被覆と余帰納的関手を用いて、プロ空間圏におけるハイパーカバー解像およびその引き戻しを分析する。
• 完全な実現の近似として $n$-切断実現を導入し、次元 $n$ 以下のホモトピー群を分析する。
• プロ空間設定における $\text{sk}_n$, $\text{cosk}_n$ と実現関手の間の随伴関係を活用して、切断された実現と完全実現を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタールトポロジカル型を用いて、任意の体上の $Å^1$-ホモトピー理論からプロ空間へのホモトピー的不変関手を定義できるか？
• RQ2 単体的スキームのフリードランダーのエタールトポロジカル型は、関連する単体的プロ空間の内部実現と弱同値か？
• RQ3 エタールトポロジカル型は、任意のエタールハイパーカバー $U\to X$ に対して $\text{Re}(n\mapsto \text{Et}U_n) \simeq \text{Et}X$ を満たす意味でハイパーカバー降下性を満たすか？
• RQ4 プロ空間設定において、$n$-切断実現は、次元 $<n$ のホモトピー群まで完全実現をホモトピー的同値に近似できるか？
• RQ5 この構成は、安定 $Å^1$-ホモトピー理論および等長的プロ空間ホモトピー理論における基礎的意味をどのようにもたらすか？

主な発見

• エタールトポロジカル型はハイパーカバー降下性を満たす：任意のエタールハイパーカバー $U\to X$ に対して、自然な写像 $\text{Re}(n\mapsto \text{Et}U_n)\to \text{Et}X$ はプロ空間としての弱同値である。
• $n$-切断実現 $\text{Re}_nX$ は、$X$ がプロ空間上の単体的対象であるとき、すべての $i < n$ に対してホモトピープロ群 $\pi_i$ に同型を誘導する。
• この構成により、エタールサイト上の単体的プレシェーブからプロ空間への左クィルレン関手が得られ、ホモトピー圏上に一意に定義された関手を誘導する。
• スキーム $S$ の残渣標数から離れるように完備化した後、この関手はモアル＝ヴォエバドスキーの $Å^1$-ホモトピー圏からプロ空間のホモトピー圏へのホモトピー的不変関手へと持ち上げられる。
• 実現関手は、解析的実現が失敗する正標数における $Å^1$-ホモトピー理論の計算的道具を提供する。
• 結果は、安定化および等長的拡張への道筋を示唆するが、プロスペクトルに関する基礎的作業は未完成のままである。