[論文レビュー] ETH Hardness for Densest-$k$-Subgraph with Perfect Completeness

Mark Braverman, Young Kun-Ko+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全完璧性を伴うDensest $k$-Subgraph問題に対する、初めてのほぼタイトなETHに基づく下界を確立し、$k$-cliqueをもつグラフと、すべての$k$-部分グラフの密度が$1 - \varepsilon$未満であるグラフを区別するには$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$時間が必要であることを示している。この結果は、新たなバースデー反復の応用と情報理論的解析を通じて得られ、追加的PTASの存在を除外し、最高の既知の準多項式時間アルゴリズムと一致する。

ABSTRACT

We show that, assuming the (deterministic) Exponential Time Hypothesis, distinguishing between a graph with an induced $k$-clique and a graph in which all k-subgraphs have density at most $1-ε$, requires $n^{ ilde Ω(log n)}$ time. Our result essentially matches the quasi-polynomial algorithms of Feige and Seltser [FS97] and Barman [Bar15] for this problem, and is the first one to rule out an additive PTAS for Densest $k$-Subgraph. We further strengthen this result by showing that our lower bound continues to hold when, in the soundness case, even subgraphs smaller by a near-polynomial factor ($k' = k 2^{- ilde Ω(log n)}$) are assumed to be at most ($1-ε$)-dense. Our reduction is inspired by recent applications of the "birthday repetition" technique [AIM14,BKW15]. Our analysis relies on information theoretical machinery and is similar in spirit to analyzing a parallel repetition of two-prover games in which the provers may choose to answer some challenges multiple times, while completely ignoring other challenges.

研究の動機と目的

• 完全完璧性下でのDensest $k$-Subgraph問題の計算複雑性と最高の既知の準多項式時間アルゴリズムの間のギャップを埋めること。
• 指数時間仮説（ETH）を仮定すると、$k$-cliqueをもつグラフと、すべての$k$-部分グラフが$1-\varepsilon$密度であるグラフを区別する多項式時間アルゴリズムは存在しないことを確立すること。
• 準多項式時間が本質的に最適であることを示すことで、Densest $k$-Subgraph問題に追加的PTASが存在しないことを除外すること。
• 下界を、$k' = k \cdot 2^{-\tilde{\Omega}(\log n)}$サイズの部分グラフへと拡張し、すなわち、かなり小さい部分グラフに対しても、健全性ケースではスパarsityが保たれることを示すこと。

提案手法

• 2プローバゲームから派生するバースデー反復技術を、2CSPからDensest $k$-Subgraph問題への還元に適応すること。
• 健全性ケースにおける割り当てと制約違反の分布を分析するために、情報理論的ツールを用いること。
• 変数に対してモード割り当てを定義し、元の2CSPにおける未満たし制約が、誘導部分グラフにおける違反を引き起こすことを示すこと。
• コーシー・シュバルツの不等式と期待値の上限を用いて、違反が少数の頂点ペairに集中することは不可能であることを示し、結果として誘導部分グラフの密度が低くなるようにすること。
• パラメータを慎重に設定し、$k'$サイズの稠密な部分グラフが説明できる以上の違反数が生じることを保証し、そのような部分グラフが存在するならば矛盾が生じることを導くこと。
• 決定的ETHを用いて、より速いアルゴリズムが排除され、$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$時間が必要であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数時間仮説（ETH）のもとで、完全完璧性を伴うDensest $k$-Subgraph問題の準多項式時間アルゴリズムを多項式時間に改善できるか？
• RQ2 完全完璧性設定下でも、Densest $k$-Subgraph問題に追加的PTASが存在するだろうか？
• RQ3 近似困難性は、$k$サイズの部分グラフに限らず、$k' = k \cdot 2^{-\tilde{\Omega}(\log n)}$サイズの部分グラフに対しても成り立つだろうか？
• RQ4 バースデー反復技術を、稠密部分グラフ問題の文脈で強力な近似困難性結果を得るために適応できるだろうか？
• RQ5 ETHのもとで、$k$-cliqueと$1-\varepsilon$密度の$k$-部分グラフを区別するための実行時間のタイトな下界は、どのように特定できるか？

主な発見

• 決定的指数時間仮説のもとで、$k$-cliqueをもつグラフと、すべての$k$-部分グラフの密度が$1 - \varepsilon$未満であるグラフを区別するには$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$時間が必要である。
• 健全性部分グラフサイズを$k' = k \cdot 2^{-\Omega(\frac{\log n}{\log\log n})}$まで小さくしても、下界が成立し、部分グラフサイズの減少に対してもロバストであることが示された。
• この結果により、Densest $k$-Subgraph問題に追加的PTASが存在しないことが除外され、最高の既知のアルゴリズムが準多項式時間で動作することを裏付けた。
• バースデー反復と情報理論的解析に基づくこの証明技法は、稠密部分グラフ問題における近似困難性を示すための新しいフレームワークを提供する。
• FeigeとSeltser [FS97]、およびBarman [Bar15b] が得た既存の準多項式時間アルゴリズムの実行時間とほぼ一致する下界が得られたため、最適性が示唆された。
• この結果により、Densest $k$-Subgraph問題の理解が強化され、その計算複雑性を解明する上で大きな一歩を踏み出した。