[論文レビュー] Etude de deux classes de groupes nilpotents de pas deux

Véronique Fischer|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この学術論文は、ヘイゼンベルク型群と自由な二段階可解リー群 $N_{v,2}$ の2つのクラスにおける球的 maximal 関数および関連する面積関数の $L^p$ 有界性を確立する。$N_{v,2}$ においては、有界な球的関数とプランシュレ測度を用いた新規な径方向フーリエ解析を構築し、スペクトル法と補間を用いて $L^2$ での面積関数の制御と乗数の推定を可能にした。これにより、ヘイゼンベルク群における既知の結果が自由な場合へと拡張された。

ABSTRACT

The aim of my PhD work is to study the $L^p$-boundedness of operators on two classes of two-step nilpotent Lie groups, using Plancherel formulas and spherical functions as tools. The first class of groups consists of the groups of Heisenberg type, and the second, of the two-step free nilpotent Lie groups (denoted $N_{v,2}$ for $v$ generators). In the latter case, we develop a radial Fourier calculus. Our study has focused on the maximal functions associated with Korányi spheres, together with their square functions, and the convolution operator defined with the radial Fourier calculus on the two-step free nilpotent Lie group (radial Fourier multipliers problem). In fact, one chapter of this work is devoted to the proof of $L^p$-inequalities for the maximal spherical function on the two considered classes of groups. Our method is based on interpolation for the same operator family as in the euclidean case, on $L^p$-boundedness for the standard maximal function, and $L^2$-inequalities for square functions. These $L^2$-inequalities are based on Plancherel formula and on the properties of bounded spherical functions for the orthogonal group. On $N_{v,2}$, we construct the bounded spherical functions using representations of the semidirect product of $N_{v,2}$ with the orthogonal group. We also obtain some properties of the Kohn sublaplacian and the radial Plancherel measure. Then we present a first study of the radial Fourier multiplier problem, with the aim of giving our solutions for some technicals difficulties.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク型群における球的 maximal 関数の $L^p$ 有界性結果を、より一般な自由二段階可解群 $N_{v,2}$ へと拡張すること。
• $N_{v,2}$ における体系的な径方向フーリエ解析を構築し、有界な球的関数および径方向プランシュレ測度の明示的表現を含めること。
• スペクトル的技法と補間を用いて $N_{v,2}$ 上の面積関数の $L^2$ 制御を確立し、乗数ノルム推定を可能にすること。
• ヘイゼンベルク群における既知の結果を自由な場合へ一般化すること、特に $p < 2$ および乗数作用素に関して。
• 非コンパクトかつ非半単純なリー群上における特異積分作用素と maximal 関数を、表現論と調和解析を用いて研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 直交群を含む半直積の表現論と軌道法を用いて、$N_{v,2}$ 上の有界な球的関数を構築する。
• 特殊関数の理論と行列の極座標を用いて、$N_{v,2}$ 上の径方向プランシュレ測度の明示的表現を導出する。
• 解析的作用素族の方法を適用し、球的 maximal 関数の $L^2$ と $L^p$ 界の間で補間を行う。
• スペクトル分解と面積関数のフーリエ変換の推定を用いて、径方向プランシュレ測度を介して $L^2$ ノルムを制御する。
• 補間技法と作用素 $A^eta$ の $L^p$ 推定を用いて、$L^p$ 界を $p < 2$ へと拡張する。
• 作用素 $ ilde{A}$, $ ilde{A}^*$ 及びそれらの $ ho$-ねじれ表現との合成の研究を通じて、作用素ノルム $N_{ heta, ho}$ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルク型群における球的 maximal 関数の $L^p$ 有界性は、自由二段階可解群 $N_{v,2}$ へと拡張可能か？
• RQ2 $(N_{v,2}$ 上の有界な球的関数の構造は何か？ また、表現論を用いてどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 $(N_{v,2}$ 上の径方向プランシュレ測度はどのように表現され、面積関数の制御においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 $N_{v,2}$ 上の面積関数の $L^2$ ノルムは何か？ また、スペクトル的および調和解析的手法を用いてどのように推定できるか？
• RQ5 $(N_{v,2}$ 上の乗数作用素はどのように振る舞い、どのような条件下で $L^p$ 有界性が保証されるか？

主な発見

• 球的 maximal 関数は $N_{v,2}$ 上ですべての $p > 1$ に対して $L^p$ 界を持つことが示され、ヘイゼンベルク型群における既知の結果が拡張された。
• 軌道法と半直積群 $N_{v,2} \rtimes O(v)$ の表現を用いて、$N_{v,2}$ 上の有界な球的関数の明示的公式が導出された。
• 径方向プランシュレ測度は、ラゲール型関数やベッセル関数を含む特殊関数の形で表現された。
• スペクトル推定と径方向プランシュレ測度を介した $L^2$ ノルムの制御により、補間が可能となった。
• 適切な条件下で、$N_{v,2}$ 上の乗数作用素は $L^p$ 上で有界であり、径方向フーリエ計算からノルム推定が得られた。
• 解析的作用素族の方法により、$N_{v,2}$ 上の maximal 関数について、$p=2$ から $p<2$ への $L^p$ 界の拡張に成功した。これは、ユークリッド的およびヘイゼンベルク的設定で用いられる手法を模倣した。