[論文レビュー] Etude des mesures hyperboliques pour les applications meromorphes

Henry de Thélin, Franck Nguyen Van Sang|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクト複素多様体上のメルモルフィック力学における非一様双曲的測度に対して、カトックの古典的結果を拡張する閉じる補題（Closing Lemma）を確立する。さらに、このような測度が、エントロピーと測度の収束が任意の精度内で達成されるベルヌーイ符号化された力学系によって近似可能であることを示し、特異点をもつ非可逆な正則写像の記号的力学の近似を可能にする。

ABSTRACT

We prove a Closing Lemma for nonuniformly hyperbolic measures of meromorphic maps. We prove also a theorem of approximation of the dynamics of such measures by Bernoulli coding maps.

研究の動機と目的

• C^{1+α}微分同相写像からコンパクト複素多様体上のメルモルフィック写像へ閉じる補題を拡張すること。
• メルモルフィック力学における非可逆性と不定性集合の課題に対処すること。
• 非一様双曲的測度がベルヌーイ符号化された力学系によって近似可能であることを証明すること。
• 近似におけるエントロピーとボレル測度の収束を確立すること。
• 記号的力学の近似技法を非可逆的かつ特異点をもつ正則写像へ一般化すること。

提案手法

• 不定性集合をもつメルモルフィック写像に適応されたペジン理論とグラフ変換技術の使用。
• 写像 $\sigma$（シフト写像）に対して $f^n \circ S_0 = S_0 \circ \sigma$ を満たす可測かつ連続な符号化写像 $S_0: \{1,\dots,N\}^{\mathbb{Z}} \to \Lambda_0$ の構成。
• $\lambda_0$ をベルヌーイ測度とするとき、$\nu_0 = (S_0)_* \lambda_0$ を定義し、$h_{\nu_0}(f^n) \geq n(h_\mu(f) - \rho)$ を保証する。
• ブライン＝カトックのエントロピー公式を用いて、シリンダーセット測度によるトポロジカルエントロピーの推定。
• $\Lambda = \bigcup_{l=0}^{n-1} f^l(\Lambda_0)$ 上に台を持つ $f$-不変測度 $\nu = \frac{1}{n}\sum_{l=0}^{n-1} (f^l)_* \nu_0$ の構成。
• 一様連続性による近似の証明：すべての $\varphi_i \in C^0(X,\mathbb{R})$ に対して $|\int \varphi_i d\nu - \int \varphi_i d\mu| < \rho$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定性集合と非可逆性の存在下でも、メルモルフィック力学における非一様双曲的測度に対して閉じる補題を確立できるか？
• RQ2 このような測度の力学をベルヌーイ符号化をもつ記号的系によって近似可能か？
• RQ3 近似プロセスにおいて、トポロジカルエントロピーとメトリックエントロピーをどのように制御できるか？
• RQ4 近似測度 $\nu$ が $f$-不変であり、弱-*位相で $\mu$ に近いかを保証する条件は何か？
• RQ5 符号化写像 $S_0$ がホースシューズ構造を与えるホメオモルフィズムであるための条件は何か？

主な発見

• 任意の $\rho > 0$ に対して、$n \geq 1$ と符号化写像 $S_0$ が存在し、$N = e^{h_\mu(f)n - \rho n}$ 個の記号をもち、$h_{\nu_0}(f^n) \geq n(h_\mu(f) - \rho)$ を満たす。
• $\Lambda_0$ に制限された $f$ のトポロジカルエントロピーは、$h_{\mathrm{top}}(f|_{\Lambda_0}) \geq h_\mu(f) - \rho$ を満たす。
• 集合 $\Lambda = \bigcup_{l=0}^{n-1} f^l(\Lambda_0)$ は、$\mathrm{supp}(\mu)$ の $\rho$-近傍内にある。
• $f$-不変測度 $\nu = \frac{1}{n}\sum_{l=0}^{n-1} (f^l)_* \nu_0$ は、すべての $\varphi_i \in C^0(X,\mathbb{R})$ に対して $|\int \varphi_i d\nu - \int \varphi_i d\mu| < \rho$ を満たす。
• もし $f$ が可逆的であり、$\int \log d(x,I(f^{-1})) d\mu(x) > -\infty$ ならば、$S_0$ はホメオモルフィズムであり、$\Lambda$ はホースシューズである。
• 近似は有効である：エントロピーと測度の収束は $\rho$ によって制御され、$N = e^{h_\mu(f)n - \rho n}$ 個の記号を用いる。