[論文レビュー] Etude locale des torseurs sous une courbe elliptique

Jilong Tong|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完備離散付値体上の楕円曲線 $ J_K $ における torsor の最小正則固有モデル $ X $ における $ \mathcal{I} $-adic および $ \pi $-adic 濃度と、 canonical morphism $ q: \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} \to J $ の相容性を研究する。$ q(S) $ がこれらの濃度と相容れることを示し、局所類体論におけるものと類似した Herbrand 型関数の構成が可能となり、関連するgraded map が $ \mathcal{I} $ のべきで生成される核をもつ明示的な核記述を持つ同種写像であることが証明される。

ABSTRACT

This article concerns the geometry of torsors under an elliptic curve. Let $\OO_K$ be a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field and function field $K$. Let $π$ be a generator of the maximal ideal of $\OO_K$, and $S=\mathrm{Spec}(\OO_K)$. Suppose that we are given $J_K$ an elliptic curve over $K$, with $J$ the connected component of the $S$-N?ron model of $J_K$. Given $X_K/K$ a torsor of order $d$ under $J_K$, let $X$ be the $S$-minimal regular proper model. Then there is an invertible id?al $\mathcal{I}\subset \OO_K$ such that $\mathcal{I}^{d}=π\OO_X\subset \OO_X$. Moreover, there exists a canonical morphism $q:\Pic^{\circ}_{X/S} ightarrow J$ which induces a surjective map $q(S):\Pic^{\circ}(X) ightarrow J(S)$. The purpose of the article is to prove this last morphism $q(S)$ is compatible with respect to the $\mathcal{I}$-adic filtration on $\Pic^{\circ}(X)$, and the $π$-adic filtration on $J(S)$. As a byproduct, we obtain { extquotedblleft Herbrand functions extquotedblright}, similar to those Serre used in his description of local class fields (\cite{Serre})

研究の動機と目的

• 完備離散付値体で代数的に閉じた残渣体をもつ楕円曲線の torsor における構造を理解すること。
• このような torsor の最小正則固有モデル $ X $ におけるコホモロジー的平坦性の失敗を分析し、$ \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} $ の非代表可能性を明らかにすること。
• $ q: \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} \to J $ の canonical morphism が $ \mathrm{Pic}^\circ(X) $ 上の $ \mathcal{I} $-adic 濃度および $ J(S) $ 上の $ \pi $-adic 濃度と相容れることを確立すること。
• 濃度の相容性を用いて、Serre の局所類体論における関数に類似した Herbrand 型関数を構成すること。
• graded 片上の誘導写像が、$ \mathcal{I} $ のべきで生成される核をもつ同種写像であることを証明すること。

提案手法

• 位数 $ d $ の $ J_K $ における torsor $ X_K $ の $ S $-最小正則固有モデル $ X $ を用い、$ \mathcal{I}^d = \pi \mathcal{O}_X $ を満たす可逆イデアル $ \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X $ を特定する。
• rigidifier および Greenberg 実現の理論を適用し、Picard 関手 $ \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} $ を滑らか群スキームの極限として表現する。
• $ \mathcal{I} $ のべきを用いた $ \mathrm{Pic}^\circ(X) $ 上の濃度と、$ \pi $ のべきを用いた $ J(S) $ 上の濃度を構成し、対応する graded 片上の誘導写像を分析する。
• 群スキームの dilatation を用いて、帰納的に滑らか群スキーム $ G^{[n]'} $ と写像 $ \theta^{[n]'}: G^{[n]'} \to J^{[n]} $ を構成し、dilatation の普遍性を活用する。
• $ \mathrm{Gr}(\mathrm{Pic}^\circ(X/S)) \to \mathrm{Gr}_n(J) $ に誘導される写像 $ q_n $ が同種写像であることを証明し、$ \psi(n) $ を法として $ \mathcal{I}^i $ によって生成される核をもつことを示す。
• $ q_n $ の核が正確に $ \mathcal{I}^i|_{X_{\psi(n)}} $ の像によって生成される部分群であり、核群スキームが正規で、十分大きな $ n $ に対して滑らかになることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 canonical morphism $ q: \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} \to J $ は、$ \mathrm{Pic}^\circ(X) $ 上の $ \mathcal{I} $-adic 濃度と $ J(S) $ 上の $ \pi $-adic 濃度とどのように作用するか。
• RQ2 $ \mathrm{Pic}^\circ(X) $ 上の濃度の graded 片の構造は何か。また、$ J(S) $ の graded 片とどのように関係するか。
• RQ3 濃度の相容性から Herbrand 型関数を構成できるか。また、局所類体論における Serre の関数とどのように比較できるか。
• RQ4 $ 濃度の graded 片上の誘導写像 $ q_n $ の核は何か。
• RQ5 $ \theta^{[n]'} $ の核群スキーム $ N^{[n]'} = \ker(\theta^{[n]'}) $ が滑らかまたは正規であるための条件は何か。

主な発見

• canonical morphism $ q: \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} \to J $ は、$ \mathcal{I} $-adic および $ \pi $-adic 濃度の graded 片上に写像 $ q_n: \mathrm{Gr}(\mathrm{Pic}^\circ(X/S)) \to \mathrm{Gr}_n(J) $ を誘導し、これは同種写像である。
• $ q_n $ の核は、$ \mathrm{Gr}(\mathrm{Pic}^\circ(X_{\psi(n)})) $ に写される $ \mathcal{I}^i|_{X_{\psi(n)}} $ の像によって生成され、$ d $ が素数のとき、この核は $ \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} $ に同型である。
• $ q_n $ は濃度構造と相容れ、$ k $-点への誘導写像は有限核をもつ全射群準同型である。
• $ q_n $ の核群スキーム $ N^{[n]'} = \ker(\theta^{[n]'}) $ は正規であり、十分大きな $ n $ に対して $ S $ 上で滑らかになる。
• 濃度の相容性を用いて Herbrand 型関数が構成され、局所類体論における Serre の関数に類似した性質を示し、torsor の分岐に関する情報を符号化する。
• $ G^{[n]'} $ を $ G^{[n-1]'} $ の $ \mathcal{I} $-reduced 核に沿った dilatation で構成することで、$ G^{[n]'} $ が滑らかな $ S $-群スキームであり、$ \theta^{[n]'} $ が忠実平坦であることが保証される。