[論文レビュー] Euclid's theorem on the infinitude of primes: a historical survey of its proofs (300 B.C.--2022) and another new proof

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

History and Theory of Mathematics参考文献 88被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、紀元前300年から2022年までに発表された、素数の無限性に関するユークリッドの定理の200の証明について包括的な歴史的サーベイを提示している。2012年から2017年の間に14件、2018年から2022年の間に18件の証明が含まれる。また、$ n^s $ と $ n-1 $ の代数的変形に基づく新しい初等的証明を提示しており、ユークリッドの補題に依存せず、素数が有限個であるという仮定から直接矛盾を導出する。

ABSTRACT

{\bf In the fourth extended version of this article, we provide a comprehensive historical survey of 200 different proofs of famous Euclid's theorem on the infinitude of prime numbers (300 {\small B.C.}--2022)}. The author is trying to collect almost all the known proofs on infinitude of primes, including some proofs that can be easily obtained as consequences of some known problems or divisibility properties. Furthermore, here are listed numerous elementary proofs of the infinitude of primes in different arithmetic progressions. All the references concerning the proofs of Euclid's theorem that use similar methods and ideas are exposed subsequently. Namely, presented proofs are divided into the first five subsections of Section 2 in dependence of the methods that are used in them. 14 proofs which are proved from 2012 to 2017 are given in Subsection 2.9, and 18 recent proofs from 2018 to 2022 are presented in Subsection 2.10. In Section 3, we mainly survey elementary proofs of the infinitude of primes in different arithmetic progressions. Presented proofs are special cases of Dirichlet's theorem. In Section 4, we give a new simple ''Euclidean's proof'' of the infinitude of primes.

研究の動機と目的

• 紀元前300年から2022年までの、素数の無限性に関するユークリッドの定理のほぼすべての既知の証明を収集・体系化すること。
• 代数的数論、オイラーのオイラー積公式、位相的議論といった、根幹となる数学的技法に基づいて証明を詳細に分類すること。
• 算術級数内の素数の無限性に関する初等的証明をサーベイし、ディリクレの定理の特殊ケースを含む。
• ユークリッドの補題を回避し、$ n^s $ と $ n-1 $ の代数的変形を用いて矛盾を直接導出する、新しいシンプルな証明を提示すること。
• 証明技法の多様性と進化を強調し、同じ定理に対する複数の証明が、異なる数学的洞察や一般化を明らかにすることを明らかにすること。

提案手法

• 証明を5つの主要な手法的グループに分類する：ユークリッドのアイデア、互いに素な整数に関するゴールドバッハのアイデア、代数的数論、オイラーの発散級数とゼータ関数を用いたアプローチ、組合せ的または位相的技法。
• 代数的恒等式を用いて矛盾を導出する：$ n = p_1 p_2 \cdots p_k $ とおくと、$ \frac{n^s}{n-1} = \sum_{i=0}^{s-1} n^i + \frac{1}{n-1} $ を示し、$ \frac{1}{n-1} $ が整数であることを示し、$ n-1 \geq 4 $ に反する。
• 新しい証明がユークリッドの補題に依存せず、唯一、素因数分解の一意性（基本定理）に依存することを示す。
• 2012年から2017年の間に14件、2018年から2022年の間に18件の証明を提示し、多項式の根、再帰的数列、ルカス数列の性質に基づく証明を含む。
• 多項式の因数分解、$ a^2 \equiv 1 \pmod{24} $ の利用、二次相互法則を用いた算術級数内の素数に関する初等的証明をサーベイする。
• 歴史的文献および数学文献を用いて、数世紀にわたる証明技法の発展と相互関係をたどる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッドの素数の無限性に関する定理の200の証明は、主にどのような手法的カテゴリーに分類できるか？
• RQ2 2018年から2022年の最近の証明は、ユークリッドの元の証明やオイラーの発散に基づく議論といった古典的手法と比べて、どのように拡張されたり異なっているか？
• RQ3 ユークリッドの補題を回避しながらも、ユークリッドの元の構造のシンプルさを保った新しい初等的証明を構築できるか？
• RQ4 算術級数内の素数の無限性に関する証明と、ディリクレの定理のようなより深い定理との間にどのような関係があるか？
• RQ5 異なる証明技法は、他の数論的命題へどのように一般化され、新たな構造的洞察を明らかにするか？

主な発見

• この論文は、ユークリッドの定理に関する200の異なる証明をカタログ化しており、そのうち44件は特別な算術級数内の素数の無限性に関するものである。
• 新しい証明は、素数が有限個であると仮定し、$ n = p_1 p_2 \cdots p_k $ とおくと、$ \frac{n^s}{n-1} = \sum_{i=0}^{s-1} n^i + \frac{1}{n-1} $ が成り立ち、$ \frac{1}{n-1} $ が正の整数であることを示し、$ n-1 \geq 4 $ に反する。
• 新しい証明はユークリッドの補題を完全に回避しており、素因数分解の存在のみに依存するため、多くの古典的バージョンよりもより初等的である。
• サーベイにより、代数的数論、オイラーの積公式、フルステンベルクの位相的アプローチに基づく証明は、それぞれ異なる仮定と一般化可能性を持つが、いずれも有効であることが明らかになった。
• 多項式の根、再帰的数列、二次相互法則を用いた証明により、$ 1 \pmod{3} $、$ 1 \pmod{8} $、$ 4 \pmod{15} $ といった算術級数内の素数の初等的証明が導出可能であることが示された。
• この論文は、2300年を経てもなお、ユークリッドの元の証明が根本的に新鮮で、的を射ており、その重要性や新規性に損なわれないことを確認した。