[論文レビュー] Euclidean Twistor Unification

Peter Woit|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2021

Metallurgy and Material Forming被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、基本的とするユークリッド型の時空と、Spin(4) = SU(2)ₗ × SU(2)ᵣを用いて一般相対性理論と標準模型を統一する。SU(2)ᵣをゲージ化すると重力の手前のスピン接続が得られ、SU(2)ₗをゲージ化すると弱い相互作用のゲージ場が得られる。ヒッグス場は虚数時間方向を特定する自由度として出現する。幾何学的構造は自然に射影-twistor空間 PT = ℂℙ³ 上で記述され、フェルミオンの対称性と内部ゲージ対称性（U(1) × SU(3)）はバンドル構造から生じる。

ABSTRACT

Taking Euclidean signature space-time with its local Spin(4)=SU(2)xSU(2) group of space-time symmetries as fundamental, one can consistently gauge one SU(2) factor to get a chiral spin connection formulation of general relativity, the other to get part of the Standard Model gauge fields. Reconstructing a Lorentz signature theory requires introducing a degree of freedom specifying the imaginary time direction, which will play the role of the Higgs field. To make sense of this one needs to work with twistor geometry, which provides tautological spinor degrees of freedom and a framework for relating by analytic continuation spinors in Minkowski and Euclidean space-time. It also provides internal U(1) and SU(3) symmetries as well as a simple construction of the degrees of freedom of a Standard Model generation of matter fields. In this proposal the theory is naturally defined on projective twistor space rather than the usual space-time, so will require further development of a gauge theory and spinor field quantization formalism in that context.

研究の動機と目的

• ユークリッド型時空と、基本的とする Spin(4) = SU(2)ₗ × SU(2)ᵣ を用いて一般相対性理論と標準模型を統一すること。
• SU(2)ᵣ をゲージ化すると、一般相対性理論の手前のスピン接続形式が得られることを示すこと。
• SU(2)ₗ 要因が弱い相互作用の源であり、ヒッグス場が虚数時間方向を特定する自由度として出現することを特定すること。
• 射影twistor空間 PT = ℂℙ³ の幾何学的構造から、標準模型の内部対称性（U(1) × SU(3)）が自然に生じることを示すこと。
• 量子場理論が、ミンコフスキー時空ではなくtwistor空間そのものに直接定式化されるべきであり、ゲージ理論およびスピン場の量子化の新しい形式主義を提案すること。

提案手法

• ℝ⁴ の共形的コンパクト化を S⁴ に施し、クaternion的射影空間 ℍℙ¹ と同一視する。
• ℍℙ¹ 上の自明な ℍ-バンドルを右手系スピノールのバンドルと同一視する。
• 射影twistor空間 PT = ℂℙ³ を用いる。これは ℍℙ¹ 上の ℂℙ¹-バンドルであり、各ファイバーが ℝ⁴ 上の複素構造を定義する。
• ヒッグス場を PT 上の ℂ²-バンドルのセクションとみなす。これにより虚数時間方向が特定され、Spin(4) がローレンツ対称性に破れることを示す。
• PT の内部 U(1) × SU(3) 対称性を用いて、残りの標準模型のゲージ対称性を説明する。
• フェルミオンの変換性質を、PT 上の正則セクションとして記述し、それらの量子数を自然に符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論と標準模型のゲージ群を、ユークリッド型時空に基づく単一の幾何的枠組み内でどのように統一できるか。
• RQ2 この枠組みにおいてヒッグス場の役割は何か。また、時空幾何学からどのように出現するか。
• RQ3 射影twistor空間 PT = ℂℙ³ の構造が、自然にローレンツ群と標準模型の内部対称性をどのように符号化するか。
• RQ4 PT 上の場による虚数時間方向の幾何的選択によって、時空対称性と内部対称性の違いを自然に説明できるか。
• RQ5 スピン場の状態を定義し、量子化する必要がある非標準的な幾何学的構造であるtwistor空間上で、量子場理論を一貫してどのように定式化できるか。

主な発見

• SU(2)ᵣ 要因のゲージ化により、ユークリッド型の一般相対性理論の手前のスピン接続形式が得られる。
• SU(2)ₗ 要因をゲージ化すると、弱い相互作用のゲージ場の一部が得られ、弱いアイソスピンに対応する。
• ヒッグス場は虚数時間方向を特定する自由度として特定され、SU(2)ₗ × SU(2)ᵣ 対称性がローレンツ対称性に破れる。
• 射影twistor空間 PT = ℂℙ³ は、標準模型の内部対称性 U(1) × SU(3) が ℍℙ¹ 上のバンドル構造から自然に生じる、自然な幾何的設定を提供する。
• 1世代分のフェルミオンの変換性質は、PT 上の正則セクションとして自然に記述され、それらの量子数とヘリシティが符号化される。
• PT の幾何学的構造により、一般相対性理論と標準模型の対称性および自由度が一つの枠組みで統一され、量子場理論はtwistor空間そのものに直接定式化されるべきであるという示唆が得られる。