[論文レビュー] Euler characteristic number of the energy band and the reason for its non-integer values

Yu-Quan Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、トポロジカルエネルギー帯における非整数のオイラー特性数の混乱を解消し、そのような値がトポロジカルな欠損や境界効果によるものではなく、トポロジカルに自明な相における量子計量テンソルの退化（特異性）に起因することを示している。非自明なトポロジカル相でベリー曲率が消えない場合に限り、量子計量が正定値となり、ガウス＝ボンネの定理によりオイラー数が明確に定義され、偶数整数であることが保証される。

ABSTRACT

The topological Euler characteristic number of the energy band proposed in our previous work (see Yu-Quan Ma et al., arXiv:1202.2397; EPL 103, 10008 (2013)) has been recently experimentally observed by X. Tan et al., Phys. Rev. Lett. extbf{122}, 210401 (2019), in which a topological phase transition in a time-reversal-symmetric system simulated by the superconducting circuits is witnessed by the Euler number of the occupied band instead of the vanishing Chern number. However, we note that there are some confusions about the non-integer behaviors of the Euler number in the topological trivial phase. In this paper, we show that the reason is straightforward because the quantum metric tensor $g_{μν} $ is actually positive semi-definite. In a general two-dimensional two-band system, we can proved that: (1) If the phase is topological trivial, then the quantum metric must be degenerate (singular)~--- $\det {g_{μν} }=0$ in some region of the first Brillouin zone. This leads to the invalidity of the Gauss-Bonnet formula and exhibits an ill-defined ``non-integer Euler number''; (2) If the phase is topological nontrivial with a non-vanishing Berry curvature, then the quantum metric will be a positive definite Riemann metric in the entire first Brillouin zone. Therefore the Euler number of the energy band will be guaranteed an even number $χ=2(1-g)$ by the Gauss-Bonnet theorem on the closed two-dimensional Bloch energy band manifold with the genus $g$, which provides an effective topological index for a class of nontrivial topological phases.

研究の動機と目的

• トポロジカル相転移の実験的測定において観察された非整数のオイラー特性数の混乱を解消すること。
• 2バンド系のトポロジカルに自明な相における、定義されないオイラー数の物理的起源を明確にすること。
• エネルギー帯のオイラー数が明確に定義され、トポロジカルに意味を持つための厳密な基準を確立すること。
• 運動量空間における $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 表面のトポロジカル構造と、実際のエネルギー帯多様体の違いを明確にすること。
• 2バンド系において、オイラー数が明確に定義されるためには、量子計量 $g_{\mu\nu}$ が正定値であることが必要十分条件であることを示すこと。

提案手法

• U(1)ゲージ不変な量子幾何テンソルの実部としての量子計量テンソル $g_{\mu\nu}$ を分析し、その半正定値性に注目する。
• 第一ブリユアンゾーン内の閉じた2次元のブロッホ帯多様体にガウス＝ボンネの定理を適用し、オイラー特性数 $\chi = 2(1 - g)$ を導出する。
• トポロジカルに自明な相では、ベリー曲率が消える領域で $\det g_{\mu\nu} = 0$ となり、ガウス＝ボンネの公式が適用できなくなることを示す。
• ハルデーン模型を具体的な例として用い、非自明な相（$C_1 = \pm 1$）では $\chi = 2$、自明な相（$C_1 = 0$）では定義されない（非整数の）値を示す。
• 量子計量 $\mathcal{M}_\mathbf{k}$ 上の $\mathcal{C}P^1 \cong S^2$ 上のフルビニ・シュテュルク計量とを対比させ、それぞれの果たす役割の違いを明確にする。
• $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 表面のオイラー数が、エネルギー帯多様体のオイラー数とトポロジカルに同値でないことを証明し、境界の存在下で特に顕著であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ2バンド系のトポロジカルに自明な相において非整数のオイラー特性数が現れるのか？
• RQ2 自明な相における定義されないオイラー数の物理的起源は何か？境界寄与項と関係があるのか、それとも計量の特異性に起因するのか？
• RQ3 量子計量 $g_{\mu\nu}$ の正定値性と定値性は、エネルギー帯のトポロジカル分類とどのように関係するか？
• RQ4 チェーン数が消える場合に、非自明な相を一貫して特徴づけるトポロジカル不変量は存在するか？
• RQ5 エネルギー帯多様体に対して、$\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 表面の正しいトポロジカル解釈は何か？

主な発見

• トポロジカルに自明な相では、ベリー曲率が消える領域で量子計量 $g_{\mu\nu}$ が退化（$\det g_{\mu\nu} = 0$）し、ガウス＝ボンネの公式が無効になる。
• ベリー曲率が消えない非自明なトポロジカル相では、第一ブリユアンゾーン全域で量子計量が正定値となり、オイラー数が明確に定義され、偶数整数であることが保証される。
• ガウス＝ボンネの定理により、エネルギー帯のオイラー数は $\chi = 2(1 - g)$ として保証され、ここで $g$ は閉じた2次元のブロッホ帯多様体のジェネルスである。
• $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 表面のオイラー数は、エネルギー帯多様体のオイラー数と等価ではない。例えばハルデーン模型では、境界の影響により前者はゼロである一方、後者は非自明な相で $\chi = 2$ である。
• 自明な相で実験的に観測された非整数のオイラー数は、境界項の欠落によるものではなく、計量特異性に起因するものであり、トポロジカル構造とは無関係である。
• 2バンド系において、オイラー数が明確に定義されるためには、量子計量 $g_{\mu\nu}$ の正定値性が必要かつ十分条件であり、チェーン数が非自明であるという条件よりも強い条件である。