[論文レビュー] Euler Characteristics and their Congruences for Multi-signed Selmer Groups

Anwesh Ray, R. Sujatha|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-合同な楕円曲線が数体上で混合半安定還元を示す状況において、切り捨てられたオイラー特徴の合同関係を確立する。非原始的セレマー群とイwasawa不変量を分析することで、$\mu$-不変量が消える場合、$p$-合同な曲線の$\lambda$-不変量および切り捨てられたオイラー特徴が $p$ を法として合同であることを証明し、先行研究を混合還元設定に拡張し、最適な素数集合を用いる。

ABSTRACT

The notion of the truncated Euler characteristic for Iwasawa modules is a generalization of the the usual Euler characteristic to the case when the cohomology groups are not finite. Let $p$ be an odd prime, $E_1$ and $E_2$ be elliptic curves over a number field $F$ with semistable reduction at all primes $v|p$ such that the $\operatorname{Gal}(\bar{F}/F)$-modules $E_1[p]$ and $E_2[p]$ are irreducible and isomorphic. We compare the Iwasawa invariants of certain imprimitive multisigned Selmer groups of $E_1$ and $E_2$. Leveraging these results, congruence relations for the truncated Euler characteristics associated to these Selmer groups over certain $\mathbb{Z}_p^m$-extensions of $F$ are studied. Our results extend earlier congruence relations for elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with good ordinary reduction at $p$.

研究の動機と目的

• $p$-合同楕円曲線のグリーンバーグ＝バーツァルおよびB.D.キムの結果を、$p$ における混合半安定還元の状況に一般化すること。
• 数体 $F$ 上の $p$-合同楕円曲線 $E_1$ および $E_2$ に対して、非原始的多符号セレマー群のイwasawa不変量の関係を研究すること。
• $\mathbb{Z}_p^m$-拡張上でのこれらのセレマー群の切り捨てられたオイラー特徴の合同関係を確立すること。
• $\Sigma_0$（完全な悪還元集合）より小さい最適な素数集合 $\Sigma_1$ を特定し、$p$-合同な状況下で非原始的不変量が一致するようにすること。
• $\mathbb{Q}$ および $\mathbb{Q}(i)$ 上での明示的例を用いてこれらの合同関係を検証し、$\Phi_{E,\Sigma_1}$ の $5$-可除性とオイラー特徴の一致を示すこと。

提案手法

• 各 $\ddagger \in \{+,-\}^d$ に対して、$d$ を $p$ 上の良い超特異還元を示す素数の個数とするとき、$\operatorname{Sel}^{\ddagger}(E/F^{\operatorname{cyc}})$ を多符号セレマー群として定義する。
• $E_1$ もしくは $E_2$ が悪還元を示す $p$ でない素数の集合 $\Sigma_1$ を用いた非原始的セレマー群を導入し、イwasawa不変量を比較する。
• $\mathbb{Z}_p^m$-拡張におけるイwasawa理論の技法を適用し、セレマー群が $\mathfrak{M}_H(G)$ のカテゴリに属すると仮定する。
• イwasawa環の構造と特性イデアル理論を活用し、$E_1$ および $E_2$ の $\mu$-および $\lambda$-不変量を比較する。
• 正のランクの場合に $p$-主セレマー群のオイラー特徴として切り捨てられたオイラー特徴 $\chi_t(G,E)$ を定義し、$L$-値と $\Phi_{E,\Sigma_1}$ を関連付ける。
• $L$-因子およびタマガワ積の明示的計算を用い、特に $\Phi_{E_1,\Sigma_1}$ が $5$ で可除であることを示す例で合同関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合半安定還元を示す $p$-合同楕円曲線が、非原始的多符号セレマー群の $\mu$-不変量に関して同型となる条件は何か？
• RQ2 $\mu$-不変量が消える場合、$p$-合同楕円曲線の非原始的多符号セレマー群の $\lambda$-不変量が一致することを示せるか？
• RQ3 混合還元状況下で、$p$-合同な状況下における多符号セレマー群の切り捨てられたオイラー特徴はどのように振る舞うか？
• RQ4 $\Sigma_1 \subset \Sigma_0$ で、$\Sigma_1$ が $\Sigma_0$ よりも真に小さいような最適な素数集合 $\Sigma_1$ を構成可能か？ そのとき、$E_1$ および $E_2$ の非原始的イwasawa不変量が一致するか？
• RQ5 切り捨てられたオイラー特徴 $\chi_t(G,E)$ と積 $\Phi_{E,\Sigma_1}$ の関係は何か？ そして、これは $p$ を法とする合同関係とどのように関係するか？

主な発見

• $E_1$ の非原始的多符号セレマー群の $\mu$-不変量が $0$ ならば、$p$-合同な状況下で $E_2$ の $\mu$-不変量も $0$ である。
• $\mu$-不変量が両方とも消える場合、$E_1$ および $E_2$ の非原始的多符号セレマー群の $\lambda$-不変量は等しい。
• 例2で示されるように、$r_{E_1}^\ddagger < r_{E_2}^\ddagger$ のとき、切り捨てられたオイラー特徴 $\chi_t(\Gamma, E_1)$ と $\chi_t(\Gamma, E_2)$ は $p$ を法として合同である。
• $\mathbb{Q}$ 上の例1では、$\chi^\pm(\Gamma, E_1)$ と $\chi^\pm(\Gamma, E_2)$ がともに $1$ に等しく、オイラー特徴の一致を示している。
• $\mathbb{Q}(i)$ 上の例2では、$\Phi_{E_1,\Sigma_1}$ は $5$ で可除であり、$r_{E_1}^\ddagger = 0 < r_{E_2}^\ddagger = 1$ であるため、定理5.5により $5$ が $\Phi_{E_1,\Sigma_1} \times \chi(\Gamma, E_1)$ を割ることを示し、明示的計算により検証された。
• $\mathcal{F}_\infty$ における $\mathbb{Z}_p^2$-拡張上、系6.6により $\chi_t(G, E_1) = \chi_t(G, E_2)$ が確認され、切り捨てられたオイラー特徴の合同関係が確立された。