[論文レビュー] Euler equations on a fast rotating sphere --- time-averages and zonal flows

Bin Cheng, Alex Mahalov|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2011

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、急激に回転する球面上における非圧縮性Euler方程式の時間平均解が、ロスビー数$\varepsilon$のオーダーの誤差範囲内でゾナル流れ（経度依存のない東西方向の流れ）に収束することを確立している。リーマン幾何学とホッジ理論を用いて、初期データがゾナル状態からどれほど離れていても、科里オリパラメータの緯度方向の変化のおかげで、時間平均流れがゾナル流れの部分空間から$O(\varepsilon)$以内に保たれることを証明している。

ABSTRACT

Motivated by recent studies in geophysical and planetary sciences, we investigate the PDE-analytical aspects of time-averages for barotropic, inviscid flows on a fast rotating sphere $S^2$. Of particular interests are the incompressible Euler equations. We prove that the finite-time-average of the solution stays close to a subspace of \emph{longitude-independent zonal flows}. The intial data can be arbitrarily far away from this subspace. Meridional variation of the Coriolis parameter underlies this phenomenon. Our proofs use Riemannian geometric tools, in particular the Hodge Theory.

研究の動機と目的

• 高速回転する地球物理学的系におけるゾナル流れの出現を理解すること、特に温度勾配や密度勾配が存在しない場合に限る。
• 非圧縮性Euler流れの長時間挙動を、厳密な偏微分方程式手法を用いて解析すること。
• 初期データがゾナル状態から大きく離れていても、時間平均解がゾナル流れに近いままであることを確立すること。
• 球面$\mathbb{S}^2$上でのEuler方程式の高速回転極限における$\varepsilon$-独立な正則性およびエネルギー推定を確立すること。
• 惑星の大気や海洋で観察されるゾナルジェットの普遍性の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 垂直座標$z = \cos\theta$として、科里オリ力が$z/\varepsilon$に比例する2次元球面上の非圧縮性Euler方程式を定式化する。
• 球面上のホッジ理論を用いて、ベクトル場を勾配成分、回転成分、調和成分に分解し、ゾナル流れの部分空間を分離する。
• リーマン幾何学的道具を用いて、科里オリ作用素$\mathcal{L}[\mathbf{u}] = \nabla^{\perp}\Delta^{-1}\text{curl}(z\mathbf{u}^{\perp})$の構造を解析する。
• $L^2$に基づくソボレフノルムを用いたエネルギー法により、解の$H^k$正則性に対する$\varepsilon$-独立推定を導出する。
• 球面調和関数を用いて、$\Delta$と$\mathcal{L}$の可換性を確立し、高次導関数の均一な制御を可能にする。
• 時間平均近似を導出：$\|\overline{\mathbf{u}}(T,\cdot) - \nabla^{\perp}f(z)\|_{H^{k-3}} \leq C_0\varepsilon\left(\frac{M_0}{T} + M_0^2\right)$、ここで$M_0 = \|\mathbf{u}_0\|_{H^k}$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データがゾナル状態から大きく離れていても、高速回転球面上の非圧縮性Euler方程式の時間平均解がゾナル流れで近似可能か？
• RQ2 科里オリパラメータの緯度方向変化がゾナル流れ構造を生成する役割は何か？
• RQ3 曲がった球面上のEuler方程式に対して、$\varepsilon$-独立な正則性およびエネルギー推定をどのように確立できるか？
• RQ4 ホッジ分解とリーマン幾何学が、一貫性のあるゾナルジェットの出現をどの程度説明できるか？
• RQ5 ソボレフノルムにおいて、時間平均流れと最も近いゾナル流れとの間の定量的誤差境界は何か？

主な発見

• 時間平均速度場$\overline{\mathbf{u}}(T,\cdot)$は、$H^{k-3}$ノルムにおいて、経度に依存しないゾナル流れ$\nabla^{\perp}f(z)$から$O(\varepsilon)$以内に近い。
• 近似誤差は$C_0\varepsilon\left(\frac{M_0}{T} + M_0^2\right)$で有界であり、ここで$M_0 = \|\mathbf{u}_0\|_{H^k}$、$C_0, T_0$は$\varepsilon$-独立な定数。
• 初期データが$H^k$でゾナル状態からどれほど離れていても、時間平均流れはゾナル部分空間に近いまま保たれる。
• 結果は任意の$T \in \left[0, \frac{T_0}{\|\mathbf{u}_0\|_{H^k}}\right]$に対して成り立ち、局所時間内での有効性が保証される。
• 証明は、球面調和関数を用いて確立された$\Delta$と$\mathcal{L}$の可換性に依存しており、これにより$\varepsilon$-独立なエネルギー推定が可能になる。
• 科里オリパラメータの緯度方向変化（極で最大、赤道でゼロ）が、熱的駆動力がなくてもゾナル流れの出現を引き起こす主要因である。