[論文レビュー] Euler-Maruyama Approximations for Stochastic McKean-Vlasov Equations with Non-Lipschitz Coefficients

Xiaojie Ding, Huijie Qiao|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Euler-Maruyama近似を用いて、非リプシッツ係数をもつ確率的 McKean-Vlasov方程式に対する強い解の存在および一意性を確立する。線形成長および非リプシッツ条件の下で、最良の強収束率 $ O(2^{-n}) $ を証明し、複雑なマルティングール解の構成を避けるために直接近似技術を用いる。

ABSTRACT

In this paper we study a type of stochastic McKean-Vlasov equations with non-Lipschitz coefficients. Firstly, by an Euler-Maruyama approximation existence of its weak solutions is proved. And then we observe pathwise uniqueness of its weak solutions. Finally, it is shown that the Euler-Maruyama approximation has an optimal strong convergence rate.

研究の動機と目的

• 非リプシッツ係数の下で、確率的 McKean-Vlasov方程式に対する弱解の存在を確立すること。
• 二つの非リプシッツ条件の下で、弱解のパスワイズ一意性を証明すること。
• 弱解の存在とパスワイズ一意性を組み合わせることで、強い解の存在および一意性を示すこと。
• このような方程式に対するEuler-Maruyama近似の収束率を分析すること。
• 複雑な測度論的道具を用いずに、直接近似法を用いてマルティングール解を構成するより単純な代替手法を提供すること。

提案手法

• 線形成長および非リプシッツ条件の下で、Euler-Maruyama近似を用いて弱解の存在を証明する。
• 収束する近似列の確立のため、固定点法および緊密性の議論を適用する。
• 確率積分のモーメントを制御するために、Burkholder-Davis-Gundy (BDG) 不等式およびホルダーの不等式を用いる。
• 係数の非リプシッツ性を扱うために、連続性モジュラス $ \kappa_\eta $ を導入する。
• Gronwall型不等式と反復推定を組み合わせて、正確解と近似解の差をバインドする。
• Lemma 144 from [10] および [13] の結果を用いて、近似誤差の指数的減衰を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が非リプシッツ的かつ線形成長を満たす場合、確率的 McKean-Vlasov方程式に対して弱解が存在するか？
• RQ2 どのような非リプシッツ的条件下で、弱解のパスワイズ一意性が保証されるか？
• RQ3 これらの条件下で、Euler-Maruyamaスキームは真の解に強く収束するか？
• RQ4 このような方程式に対して、Euler-Maruyama近似の最良の収束率は何か？
• RQ5 複雑な測度論的道具を用いずに、近似によってマルティングール解を直接構成できるか？

主な発見

• 線形成長および非リプシッツ条件の下で、Euler-Maruyama近似を用いて、確率的 McKean-Vlasov方程式に対する弱解が存在する。
• 二つの異なる非リプシッツ条件の下で、パスワイズ一意性が成立し、強い解の構成が可能になる。
• Euler-Maruyama近似は、真の解に最良の収束率 $ O(2^{-n}) $ で強く収束する。
• 収束率は、モーメント推定、BDG不等式、反復的Gronwall型議論を用いて導出される。
• 先行研究で用いられる複雑な計算を避けるために、直接近似法を用いてマルティングール解を構成する。
• 誤差バウンド $ \mathbb{E}\left(\sup_{t\in[0,T]}|X_t^n - X_t|^2\right) = O(2^{-n}T_0) $ は、最良の収束率を確認する。