[論文レビュー] Euler number of the compactified Jacobian and multiplicity of rational curves

Barbara Fantechi, Lothar Gœttsche+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 75

ひとこと要約

本稿は、有理曲線の平面的特異点をもつ場合に、コンpactified Jacobianのオイラー乗数が、その半普遍的変形空間におけるδ定数層の重複度に等しいことを証明することにより、代数幾何と数え上げ幾何の間に深い関係を確立する。主な結果は、このオイラー乗数がYau、Zaslow、Beauvilleによって有理曲線に割り当てられた重複度と一致することを示しており、同時に、曲線への安定写像のモジュライ空間の長さとも等しい。これは、曲線数え上げ不変量の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

We show that the Euler number of the compactified Jacobian of a rational curve $C$ with locally planar singularities is equal to the multiplicity of the $δ$-constant stratum in the base of a semi-universal deformation of $C$. In particular, the multiplicity assigned by Yau, Zaslow and Beauville to a rational curve on a K3 surface $S$ coincides with the multiplicity of the normalisation map in the moduli space of stable maps to $S$.

研究の動機と目的

• 有理曲線が平面的特異点をもつ場合に、そのコンpactified Jacobianのオイラー乗数と、その変形空間におけるδ定数層の重複度との間の明確な関係を確立すること。
• Yau、Zaslow、Beauvilleによって有理曲線に割り当てられた重複度の幾何的解釈を提供すること。
• 有理曲線Cへの genus-zero 安定写像のモジュライ空間の長さが、コンpactified Jacobianのオイラー乗数e(\overline{J}C)に等しいことを示すこと。
• 重み付きBézoutの定理を含む代数幾何的技法を用いて、特異点の重複度を計算するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 平面的特異点をもつ曲線Cの半普遍的変形族\mathcal{C} \to Bを用いて、相対的コンpactified Jacobian\overline{J}\mathcal{C}を研究すること。
• \overline{J}\mathcal{C}が底空間B上ですべて滑らかであり、\overline{J}\mathcal{C}'が部分族上で滑らかであるための条件は、δ定数層の接錐への横断的交わりに依存することを証明すること。
• δ次元の部分空間W_t \subset Bの1パラメータ族を構成し、一般のtに対してW_t \cap B^\deltaがm(C,p)個の異なるノードを持つ曲線からなるようにすること。
• 位相的不変性の応用：オイラー乗数e(\overline{J}\mathcal{C}_t)はtに関して一定であり、t=0におけるe(\overline{J}C)とt \neq 0におけるm(C,p)を比較可能となる。
• 同調的多項式変形と自己同型の消去を用いて、変形理論と代数幾何を応用し、モジュライ空間M_{g,0}(C,[C])の長さを明示的に計算すること。
• 重み付きBézoutの定理を用いて、f^q = g^pの式で定義される0次元スキームの長さを計算すること。ここでfとgは単項式の変形である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理曲線が平面的特異点をもつ場合に、そのコンpactified Jacobianのオイラー乗数は、その変形空間におけるδ定数層の重複度に等しいか？
• RQ2 Yau、Zaslow、BeauvilleによってK3面上の有理曲線に割り当てられた重複度は、そのコンpactified Jacobianのオイラー乗数と一致するか？
• RQ3 有理曲線Cへのgenus-zero安定写像のモジュライ空間の長さは、δ定数層に関連する幾何的不変量として解釈可能か？
• RQ4 特異点(C,p)の重複度m(C,p)は、変形理論と交線論を用いて代数的にどのように計算できるか？

主な発見

• 有理曲線Cが平面的特異点をもつ場合、そのコンpactified Jacobian\overline{J}Cのオイラー乗数は、その半普遍的変形の基底におけるδ定数層の重複度m(C)に等しい。
• 有理曲線Cが1つの平面的特異点(C,p)をもつ場合、局所的コンpactified Jacobianのオイラー乗数e(M(C,p))は、特異点におけるδ定数層の重複度m(C,p)に等しい。
• タイプy^p z^{q-p} = x^qのトーリック特異点について、m(C,o) = \frac{1}{p+q} \binom{p+q}{p}という公式が成り立つ。
• 曲線Cへのgenus-g安定写像のモジュライ空間M_{g,0}(C,[C])の長さは、重複度m(C)に等しく、これは不変量の幾何的実現である。
• 滑らかなK3表面X内の有理曲線Cに対して、コンpactified Jacobianのオイラー乗数e(\overline{J}C)は、正規化写像に台を持つM_{0,0}(X,d)の0次元成分の長さに等しく、これは曲線数え上げとモジュライ幾何を結びつける。
• m(C,p)の計算は、重み付き変数におけるp+q-2個の同次方程式で定義される0次元スキームに帰着され、その長さは重み付きBézoutの公式で与えられる。