[論文レビュー] Euler Obstruction and Defects of Functions on Singular Varieties

Jean‐Paul Brasselet, David B. Massey+2 more|ArXiv.org|Feb 19, 2003

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、特異多様体上で一般線形形式の代わりに特異関数を使用する際、局所オイラー係数がレフシェッツ型の公式を満たさないときの不具合を測る欠損不変量 $ D_{f,X}(0) $ を導入する。この不具合が関数 $ f $ の消失サイクルのオイラー特性に等しいことを確立し、Lê-Vogel数を用いた代数的公式を提示することで、孤立特異点の場合にミルナー数と局所オイラー係数を統一する。

ABSTRACT

Several authors have proved Lefschetz type formulae for the local Euler obstruction. In particular, a result of this type is proved in [BLS].The formula proved in that paper turns out to be equivalent to saying that the local Euler obstruction, as a constructible function, satisfies the local Euler condition (in bivariant theory) with respect to general linear forms. The purpose of this work is to understand what prevents the local Euler obstruction of satisfying the local Euler condition with respect to functions which are singular at the considered point. This is measured by an invariant (or ``defect'') of such functions that we define below. We give an interpretation of this defect in terms of vanishing cycles, which allows us to calculate it algebraically. When the function has an isolated singularity, our invariant can be defined geometrically, via obstruction theory. We notice that this invariant unifies the usual concepts of {\it the Milnor number} of a function and of the {\it local Euler obstruction} of an analytic set.

研究の動機と目的

• 特異関数が点において局所オイラー係数が局所オイラー条件を満たさない理由を理解すること。
• 局所オイラー係数の関数版と呼ばれる不変量 $ Eu_{f,X}(0) $ を定義・研究し、これがナッシュ変換上の勾配の持ち上げを拡張する際の障害を測ること。
• 特異関数を含むレフシェッツ型の公式を欠損項 $ D_{f,X}(0) $ を用いて局所オイラー係数に一般化すること。
• 導来カテゴリの技法とインデックス定理を用いて、$ D_{f,X}(0) $ を消失サイクルの観点から解釈すること。
• 非孤立特異点の場合を含め、Lê-Vogel数を用いた $ D_{f,X}(0) $ の代数的公式を提示すること。

提案手法

• 不変量 $ Eu_{f,X}(0) $ を、$ \overline{\nabla}_X f $ のナッシュバンドル上の全空間セクションへの持ち上げの障害として定義する。
• 一般化されたレフシェッツ公式を証明する：$ Eu_X(0) = \sum_i \chi(V_i \cap \mathbb{B}_\varepsilon \cap f^{-1}(t_0)) \cdot Eu_X(V_i) + Eu_{f,X}(0) $ は、孤立特異点に対して成り立つ。
• 欠損量 $ D_{f,X}(0) := Eu_X(0) - \sum_i \chi(V_i \cap \mathbb{B}_\varepsilon \cap f^{-1}(t_0)) \cdot Eu_X(V_i) $ を導入し、非孤立特異点に対しても正しく定義可能であることを示す。
• Brylinski, Dubson, および Kashiwara のインデックス定理を用いて、$ D_{f,X}(0) = -\chi(\phi_f \mathbb{C}_U^\bullet)_0 $、すなわち消失サイクルのオイラー特性に等しいことを示す。
• 関数 $ f $ の偏導関数の等高面との反復的交差を用いて余接バンドル内に Lê-Vogel サイクル $ \Lambda^k_f $ を構成し、線形部分空間との交点数として Lê-Vogel 数 $ \lambda^k_f(0) $ を定義する。
• 公式 $ D_{f,X}(0) = \sum_{k=0}^s (-1)^{d-k} \lambda^k_f(0) $ を確立する。ここで $ s = \dim_0 \pi(\overline{T^*_{X_{\text{reg}}}U} \cap \text{im } d\widetilde{f}) $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ特異関数 $ f $ が点において局所オイラー係数が局所オイラー条件を満たさないのか？
• RQ2 関数 $ f $ が非孤立特異点を持つ場合、オイラー係数のレフシェッツ型公式における欠損を代数的にどのように計算できるか？
• RQ3 消失サイクルの観点から、欠損量 $ D_{f,X}(0) $ の幾何学的・位相的意味は何か？
• RQ4 新しい Lê-Vogel 数は古典的 Lê 数をどのように一般化し、ミルナー数と関係するか？
• RQ5 不変量 $ Eu_{f,X}(0) $ はどのようにしてミルナー数と局所オイラー係数を統一するのか？

主な発見

• 欠損量 $ D_{f,X}(0) $ は、関数 $ f $ の消失サイクルの負のオイラー特性に等しく、すなわち $ D_{f,X}(0) = -\chi(\phi_f \mathbb{C}_U^\bullet)_0 $ である。
• 孤立特異点の場合、$ D_{f,X}(0) = Eu_{f,X}(0) $ であり、この不変量は符号を除いてミルナー数 $ \mu $ と一致するため、$ D_{f,X}(0) = (-1)^d \mu $ である。
• $ X = \mathbb{C}^d $ の場合、欠損量 $ D_{f,X}(0) $ は符号を除いて関数 $ f $ のミルナー数に正確に一致し、二つの古典的不変量を統一する。
• 欠損量 $ D_{f,X}(0) $ は代数的に $ \sum_{k=0}^s (-1)^{d-k} \lambda^k_f(0) $ として計算可能であり、ここで $ \lambda^k_f(0) $ は余接バンドル内の交点論によって定義された Lê-Vogel 数である。
• Lê-Vogel サイクル $ \Lambda^k_f $ は、関数 $ f $ の微分のグラフとの反復的交差によって構成され、その射影が公式に用いられるサイクルを生成する。
• 関数 $ f $ が定数関数のとき、$ D_{f,X}(0) = Eu_X(0) $ となる。これは、関数に起因する摂動がない場合に欠損量が全オイラー係数を捉えていることを示している。