[論文レビュー] Euler's divergent series in arithmetic progressions

Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Tapani Matala-aho+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の非ゼロ整数 ξ および有理数 a/b に対して、m ≥ 3 における法 m の約化済み剰余類の半数を超える類において、Eulerの発散級数である階乗級数の p進評価 Fₚ(ξ) が a/b に等しくない無限個の素数 p が存在することを確立する。グローバル関係理論および p進解析を用いて、Fₚ(ξ) = a/b を満たす素数の集合は、法 m における約化済み剰余類の半数を超えることはできず、したがって Fₚ(ξ) は正の密度を有する素数において有理数値を避けることが示される。

ABSTRACT

Let $ξ$ and $m$ be integers satisfying $ξ e 0$ and $m\ge 3$. We show that for any given integers $a$ and $b$, $b eq 0$, there are $\frac{φ(m)}{2}$ reduced residue classes modulo $m$ each containing infinitely many primes $p$ such that $a-bF_p(ξ) e 0$, where $F_p(ξ)=\sum_{n=0}^\infty n!ξ^n$ is the $p$-adic evaluation of Euler's factorial series at the point $ξ$.

研究の動機と目的

• Eulerの発散的階乗級数 Fₚ(ξ) = ∑n≥0 n!ξⁿ の p進完備化における算術的性質を調査すること。
• Fₚ(ξ) が与えられた有理数 a/b に等しくなるような素数 p が無限個存在するかどうかを特定すること。
• Fₚ(ξ) = a/b を満たす素数の集合が、法 m における約化済み剰余類の半数を超えることはない、という事実を確立すること。
• グローバル関係理論を拡張し、Fₚ(ξ) ≠ a/b が正の密度を有する素数で成り立つことを示すこと。

提案手法

• ある収束条件が積 ∏|n!|_p² に対して満たされる場合、無限個の p ∈ R が Λ(Fₚ(ξ)) ≠ 0 を満たすことを示す定理1を用いる。
• p進解析とStirlingの近似を用いて、log|n!|_p および算術的等差数列上の p進絶対値の寄与を推定する。
• Dirichletの算術的等差数列における素数の定理を用いて、法 m における約化済み剰余類内の素数の分布を分析する。
• 一般化されたリーマン予想（GRH）を用いて、剰余類内の素数における log|n!|_p の和の誤差項を精緻化する。
• 法 m における r 個の剰余類における ∏|n!|_p² の成長を分析し、n! の積における指数が r > φ(m)/2 のとき負の係数 1 - 2r/φ(m) を持つことを示す。
• lim supₙ→∞ cⁿ n! ∏|n!|_p² = 0 という条件を適用し、r > φ(m)/2 を満たす集合 R に対してグローバル関係条件が満たされることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eulerの階乗級数の p進値 Fₚ(ξ) が、与えられた有理数 a/b に等しくなるような素数 p が無限個存在しうるか？
• RQ2 法 m における剰余類の構造を考慮した場合、Fₚ(ξ) = a/b を満たす素数 p の最大密度は何か？
• RQ3 法 m における約化済み剰余類の半数を超えるものを含む、G_Λ = {p ∈ ℙ | Λ(Fₚ(ξ)) = 0} というグローバル関係集合を構成することは可能か？
• RQ4 算術的等差数列における素数の分布が、階乗の p進ノルムを含む積の収束にどのように影響するか？
• RQ5 特に r > φ(m)/2 のとき、グローバル関係の条件を法 m における剰余類のみを用いて検証できるか？

主な発見

• 任意の整数 m ≥ 3 および任意の非ゼロ ξ に対して、任意の与えられた有理数 a/b に対して、法 m の約化済み剰余類の半数を超える類において、Fₚ(ξ) ≠ a/b を満たす無限個の素数 p が存在する。
• Fₚ(ξ) = a/b を満たす素数の集合は、法 m における約化済み剰余類の φ(m)/2 個を超えることはできず、したがってこのような値は正の密度を有する素数の集合で避けることになる。
• 証明により、r 個の剰余類における積 ∏|n!|_p² における n! の指数が、漸近展開において負の係数 1 - 2r/φ(m) を持つことが示され、0 への収束が保証される。
• 一般化されたリーマン予想のもとでは、剰余類内の素数における和の誤差項は O(n) で有界であり、主項と相殺可能である。
• 任意の r > φ(m)/2 を満たす法 m における約化済み剰余類の和集合 R に対して、lim supₙ→∞ cⁿ n! ∏|n!|_p² = 0 という条件が満たされ、定理1の適用可能性が確認される。
• この結果により、Fₚ(ξ) は正の割合の素数において有理数でないことが示され、特に法 m における任意の約化済み剰余系の半数以上に相当する素数において成立する。