[論文レビュー] Euler sprays and Wasserstein geometry of the space of shapes

Jian‐Guo Liu, Robert L. Pego+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Eulerスプレー構成を用いて、可積分な形状の流れをWasserstein空間内の測地線として定式化し、任意の二つの体積が等しい形状が、楕円体的測地線の重ね合わせによって近似的に接続可能であることを示している。最小作用はWasserstein距離の二乗に等しく、1次元を除いてほとんど到達されない。各Wasserstein測地線は、真空を含む二相混合流体の緩和された最小作用原理の弱極限として得られ、可縮性のないEulerスプレーの弱極限として得られる。

ABSTRACT

As V. I. Arnold observed in the 1960s, the Euler equations of incompressible fluid flow correspond formally to geodesic equations in a group of volume-preserving diffeomorphisms. Working in an Eulerian framework, we study incompressible flows of shapes as critical paths for action (kinetic energy) along transport paths constrained to have characteristic-function densities. The formal geodesic equations for this problem are Euler equations for incompressible, inviscid potential flow of fluid with zero pressure and surface tension on the free boundary. The problem of minimizing this action exhibits an instability associated with microdroplet formation, with the following outcomes: Any two shapes of equal volume can be approximately connected by an Euler spray---a countable superposition of ellipsoidal geodesics. The infimum of the action is the Wasserstein distance squared, and is almost never attained except in dimension 1. Every Wasserstein geodesic between bounded densities of compact support provides a solution of the (compressible) pressureless Euler system that is a weak limit of (incompressible) Euler sprays. Each such Wasserstein geodesic is also the unique minimizer of a relaxed least-action principle for a two-fluid mixture theory corresponding to incompressible fluid mixed with vacuum.

研究の動機と目的

• 特性関数密度制約の下で運動エネルギーの臨界経路として可縮形状の流れを形式化すること。
• そのような流れを支配する測地線方程式を、圧力と表面張力が自由境界上でゼロである非粘性、非圧縮性ポテンシャル流れのものとして同定すること。
• 微小液滴形成に関連する作用最小化問題の不安定性を分析すること。
• 弱極限を介してEulerスプレーとWasserstein測地線の関係を確立すること。
• 各Wasserstein測地線が、真空を含む二相混合流体モデルにおける緩和された最小作用原理の唯一の最小化子であることを示すこと。

提案手法

• 特性関数密度を持つ流れに対して、Euler的枠組みで形式的測地線方程式を導出する。
• この問題が、自由境界上で圧力と表面張力がゼロである非粘性、非圧縮性ポテンシャル流れのEuler方程式に対応することを示す。
• 楕円体的測地線の可算個の重ね合わせ（Eulerスプレーと呼ぶ）を用いて、任意の二つの等体積形状を近似する。
• 作用の下限が密度間のWasserstein距離の二乗に等しいことを特定する。
• Eulerスプレーの弱極限を用いて、圧縮可能な圧力なしEuler系の解を構成する。
• 二相混合流体モデルに対して緩和された最小作用原理を定式化し、その最小化子がWasserstein測地線と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の二つの等体積形状は、可縮性のない測地線の重ね合わせによって近似的に接続可能か？
• RQ2 非圧縮性制約下での形状輸送における運動エネルギー作用の下限は何か？
• RQ3 Eulerスプレーは弱極限においてどのようにWasserstein測地線と関係するか？
• RQ4 作用最小化問題の不安定性に微小液滴形成が果たす役割は何か？
• RQ5 Wasserstein測地線は、真空を含む二相混合流体モデルにおける緩和された最小作用原理の最小化子として特徴付けられるか？

主な発見

• 形状輸送における作用の下限は、初期形状と最終形状間のWasserstein距離の二乗に等しい。
• この下限は1次元の配置を除いてほとんど到達されない。
• 任意の二つの等体積形状は、Eulerスプレー（可算個の楕円体的測地線の重ね合わせ）によって近似的に接続可能である。
• 各Wasserstein測地線は、可縮性のないEulerスプレーの弱極限として得られ、圧縮可能な圧力なしEuler系の解を提供する。
• 各Wasserstein測地線は、非圧縮性流体と真空を含む二相混合流体モデルにおける緩和された最小作用原理の唯一の最小化子である。
• 形式的測地線方程式は、自由境界上で圧力と表面張力がゼロである非圧縮性、非粘性ポテンシャル流れに対応する。