[論文レビュー] Euler Systems for $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$

Chi-Yun Hsu, Zhaorong Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$p$-通常性を仮定して、$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$-コhomologicalな cuspidal 自動形式表現に付随する Galois 表現に対するオイラー系を構成する。構成はノヴォドヴォルスキーの$L$-関数の積分公式に依拠し、特に$ \mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_\ell)$における表現論的結果——特に多重度1定理——を用いて、明示的な二重coset計算を避け、衰弱的ノルム関係を検証する。これは、先行する$ \mathrm{GSp}_4$および$ \mathrm{GL}_2$オイラー系の技法を一般化するものである。

ABSTRACT

For a non-endoscopic cohomological cuspidal automorphic representation of $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$, assumed to be $p$-ordinary, we construct an Euler system for the Galois representation associated to it. Both the construction and the verification of tame norm relations are based on Novodvorsky's integral formula for the $L$-function of $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$.

研究の動機と目的

• 非端的で、$p$-通常かつコhomologicalな$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$の cuspidal 自動形式表現に付随する Galois 表現に対するオイラー系の構成。
• 明示的な二重coset計算を避け、局所的表現論的技法を用いてオイラー系に必要な衰弱的ノルム関係を検証すること。
• ローフラー、スミスキン、ツェルベスの手法——$ \mathrm{SO}_4$-不変汎関数の多重度1に基づくもの——を$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$の設定に拡張すること。
• シンボル写像とアイゼンスタイン類を用いて、異なるレベル間でのオイラー系要素の整数性と整合性を確立すること。
• コhomologicalな押し出しと$L$-関数の積分公式を用いて、高ランクの$ \mathrm{GSp}_4$関連の自動形式的設定におけるオイラー系の構成の体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• オイラー系要素の構成の基礎として、$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$の$L$-関数のノヴォドヴォルスキーの積分公式を用いる。
• エタール実現を介して、モジュラー曲線上のコhomology類を Galois コhomologyに結びつけるために、有限および無限レベルにおけるシンボル写像を適用する。
• $\mathrm{GL}_2$のアイゼンスタイン類およびそれらの$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$の志村多様体への押し出しを用いて、モチーフ的コhomology類を生成する。
• 局所的多重度1定理を用いて、$ \mathrm{SO}_4(\mathbb{Q}_\ell)$-不変汎関数の空間の次元が1以下であることを示し、これにより衰弱的ノルム関係の検証を局所問題に還元する。
• 共役補題と二重coset分解を用いて、$J_k^i$-集合における代表元の和を計算し、異なるサイクル類を関連付ける。
• ホッシャイルド–セルレのスペクトル系列を適用して、モチーフ的コhomology類を Galois コhomology に持ち上げ、ノルム写像と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-通常で、コhomologicalかつ非端的な$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$の cuspidal 自動形式表現の Galois 表現に対して、オイラー系を構成できるか。
• RQ2 $\mathrm{GSp}_4$において、明示的な二重coset計算を避け、衰弱的ノルム関係を検証できるか。
• RQ3 $\mathrm{SO}_4$-不変汎関数の局所的多重度1結果が、$\mathrm{GSp}_4$-表現に適用可能な範囲で、グローバルなノルム整合性を局所的命題に還元できる程度はどの程度か。
• RQ4 レベル上昇および基本拡大の下で、シンボル写像とアイゼンスタイン類は$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$設定においてどのように振る舞うか。
• RQ5 集合$J_k^i$上でのサイクル類の和の正確な構造は何か。また、それらはオイラー系におけるノルム関係とどのように関係するか。

主な発見

• 本稿は、$ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$志村多様体のエタールコhomologyに、必要なノルム関係を満たす Galois コhomology類を構成し、それによってオイラー系を形成している。
• 衰弱的ノルム関係は局所的多重度1の議論により検証された：関連する$ \mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_\ell)$-表現における$ \mathrm{SO}_4(\mathbb{Q}_\ell)$-不変汎関数の空間の次元は1以下であり、グローバル問題が局所的計算に還元された。
• 和$\sum_{\eta \in J_5^1} \mathfrak{Z}(\eta)$は、$\ell \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\eta^{\ell x,y,0}_{2,0}) + \ell(\ell-1) \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\eta^{\ell x,y,1}_{2,1})$に等しいことが示され、ノルム整合性のための重要なステップが確立された。
• 和$\sum_{\eta \in J_5^2} \mathfrak{Z}(\eta)$は、$\ell \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\iota^{\ell x,y,0}_{2,0})$に等しく、さらに$\sum_{\eta \in J_5^3} \mathfrak{Z}(\eta)$に等しいことが示され、異なるサイクル型間での一貫性が確認された。
• $\sum_{\eta \in J_6} \mathfrak{Z}(\eta)$は、$\mathfrak{Z}(\eta^{0,0,0}_{0,0}) + (\ell^2 - 1) \cdot \mathfrak{Z}(\eta^{1,0,0}_{1,0}) + \ell^2(\ell^2 - 1) \cdot \mathfrak{Z}(\eta^{1,0,0}_{2,0})$に等しいことが計算され、$x,y$が$\ell$を法として整除条件を満たす項が寄与している。
• 最終的な結果として、オイラー系要素が必要なノルム関係を満たすことが確認された。主な貢献は、表現論的還元によって、煩雑な二重coset計算を回避したことにある。