[論文レビュー] Euler top and freedom in supersymmetrization of one-dimensional mechanics

Erik Khastyan, S. Krivonos+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2022

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正のハミルトニアンをもつ1次元力学系のN = 2k超対称化スキームを提案する。複素射影平面CP¹におけるケーラー位相空間構造を用い、EulerトップをCP¹上に定式化し、クリフォード代数を介してフェルミオン変数を導入することで、N/2個の任意の実関数でパラメータ化された、事前に可積分性を保証するN = 2k超対称ハミルトニアンの族が得られる。これは、可積分系に対する体系的かつ幾何学的に整合性のある超対称化フレームワークを提供する。

ABSTRACT

Recently A.Galajinsky has suggested the N=1 supersymmetric extension of Euler top and made a few interesting observations on its properties [arXiv:2111.06083 [hep-th]]. In this paper we use the formulation of the Euler top as a system on complex projective plane, playing the role of phase space, i.e. as a one-dimensional mechanical system. Then we suggest the supersymmetrization scheme of the generic one-dimensional systems with positive Hamiltonian which yields a priori integrable family of N=2k supersymmetric Hamiltonians parameterized by N/2 arbitrary real functions.

研究の動機と目的

• 先行研究におけるEulerトップのN ≥ 2超対称拡張が一貫して得られていないという問題に対処すること。
• 複素射影座標を用いて、非退化位相空間CP¹上の1次元系としてEulerトップを再定式化すること。
• ケーラー多様体上の正のハミルトニアンをもつ1次元系に対する一般化された超対称化手順を開発すること。
• 任意の実関数でパrameter化された超対称ハミルトニアンを構成することで、事前に可積分性を保証すること。
• ボソン的およびフェルミオン的自由度をガンマ行列を用いて分離することで、幾何的量子化フレームワークを提供すること。

提案手法

• Fubini-Study計量およびケーラー潜在力K(z, ¯z) = 2j log(1 + z¯z)を用いて、複素射影平面CP¹上のEulerトップを座標z, ¯zおよびjで定式化する。
• ハミルトニアンおよびポアソン括弧をz, ¯z, jの言語で表現し、CP¹上での非退化ケーラー構造を保証する。
• N = 2kフェルミオン変数ψa, ¯ψaをポアソン括弧の下でクリフォード代数をなすように導入する。
• N/2個の任意の実関数fl(z, ¯z)を含むアンザッツを用いて、超電荷QaおよびQ̄aを構成し、ポincare超代数の閉包を保証する。
• 超電荷の反交換子として超対称ハミルトニアンを導出し、可積分系の族を得る。
• ボソン的系の標準的幾何的量子化の後にフェルミオン的変数をガンマ行列に置き換えることで、幾何的量子化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eulerトップは、先行手法におけるフェルミオン変数の過剰な重複性を回避しながら、N = 1を越えて一貫して超対称化可能か？
• RQ2 正のハミルトニアンをもつ1次元系に対して、事前に可積分性を保証する一般化された超対称化スキームは存在するか？
• RQ3 任意関数の自由度を、力学系の超対称拡張に体系的に組み込む方法は何か？
• RQ4 Eulerトップの位相空間構造（CP¹）を用いて、幾何学的かつ一貫した超対称化手順を定義可能か？
• RQ5 ケーラー構造およびキリングポテンシャルは、超対称系の可積分性と量子化を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• Eulerトップは、Fubini-Study計量およびケーラー潜在力K(z, ¯z) = 2j log(1 + z¯z)によって完全に記述されるCP¹上の1次元系として再定式化された。
• 超対称化手順により、N/2個の任意の実関数でパラメータ化されたN = 2k超対称ハミルトニアンの族が得られ、事前に可積分性が保証された。
• フェルミオン的変数ψa, ¯ψaはポアソン括弧の下でクリフォード代数をなし、ボソン的自由度から明確に分離可能である。
• 超電荷QaおよびQ̄aは、N/2個の任意関数fl(z, ¯z)を含むアンザッツを用いて構成され、Poincaré超代数の閉包が達成された。
• 得られた超対称ハミルトニアンは{Qa, Q̄a}として得られ、系はボソン的CP¹系の幾何的量子化の後にフェルミオン的変数をガンマ行列に置き換えることで量子化された。
• 本手法は、T*CP¹上のハイパーケーラー構造を介して、ラグランジュおよびコワレフスキーのトップなど他の系への超対称化への拡張を一貫して可能にするフレームワークを提供する。