[論文レビュー] Eulerian graded $D$-modules

Linquan Ma, Wenliang Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、任意の特性における多項式環上に、高階のオイラー型公式を満たすD加群（Eulerian graded D-modules）を導入する。局所コホホロジー加群と階数付きF加群がEulerianであることを証明し、$ H^{i_0}_{\frak{m}}(H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R)) $ のすべてのソクル要素が次数$-n$に存在することを示し、[Zha12]の問いを解消し、特性に依存しない設定でその主要結果を回復する。

ABSTRACT

Let $R$ be a polynomial ring over a field $K$ of arbitrary characteristic and $D$ be the ring of differential operators over $R$. Inspired by Euler formula for homogeneous polynomials, we introduce a class of graded $D$-modules, called Eulerian graded $D$-modules. It is proved that a vast class of $D$-modules, including all composite of local cohomology modules, $H_{J_0}^{i_0}(H_{J_1}^{i_1}...(H_{J_n}^{i_n}(R)))$ where $J_1,...,J_n$ are homogeneous ideals of $R$, are Eulerian graded. As an application of our theory, we prove that in all characteristic, these composite of local cohomology modules must be isomorphic to a direct sum of $^{*}E(n)$, the graded injective hull of $R/m$ shifted by $n$. This answers a question raised in arXiv:1102.5336. An application of our theory of Eulerian graded $D$-modules to the graded injective hull of $R/P$, where $P$ is a homogeneous prime ideal of $R$, is discussed as well.

研究の動機と目的

• 同次多項式のオイラー公式にインspiredされた、Eulerian graded D加群と呼ばれる新しい階数付きD加群のクラスを定義し、研究すること。
• 任意の特性において、$ J_1, \dots, J_s $ が同次イデアルであるとき、局所コホホロジー加群 $ H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R) $ がEulerianであることを証明すること。
• Zha12で提起された問いを解消するため、$ H^{i_0}_{\frak{m}}(H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R)) $ のすべてのソクル要素が次数$-n$に存在することを示すこと。
• 階数付きF加群がEulerianであることを示し、これにより[Zha12]の主要結果をより広い設定で回復すること。
• $ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(R/P) $ の自然な階数付けを特定し、それがEulerianとなるようにすること。その階数付けは $ R/P $ のa不変量に依存する。

提案手法

• 高階のオイラー公式を用いてEulerian graded D加群を定義し、同次多項式の古典的オイラー恒等式 $ \sum x_i \partial_i f = \deg(f)f $ を一般化する。
• $ \mathbb{Z} $-階数付けを $ R $ と $ \scr{D} $ に導入し、$ \deg(x_i) = 1 $、$ \deg(\partial_i^{[j]}) = -j $ とすることで、階数付きD加群およびそのねじれ $ M(\ell) $ を定義する。
• $ R(\ell) $ がEulerianであることと $ \ell = 0 $ が同値であること、$ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(\ell) $ がEulerianであることと $ \ell = n $ が同値であることの証明に、$ R/\frak{m} $ の階数付きインジェクティブ包因 $ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}} $ の性質を用いる。
• D加群の構造的性質と帰納法を用いて、すべての局所コホホロジー加群 $ H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R) $ がEulerianであることを示す。
• この理論を応用し、$ H^{i_0}_{\frak{m}}(H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R)) $ が、$ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(n) $ のコピーの直和ととして階数付きD加群として同型であり、ソクル要素が次数$-n$に存在することを示す。
• 階数付き局所双対性と $ \operatorname{Ext}_R^h(R/P, R) \cong \operatorname{Hom}_R(R/P, H_P^h(R)) $ の構造を用いて、$ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(R/P) $ に自然な階数付けを定義し、Eulerian性を満たすためには $ \ell = a(R/P) + n $ とすることを設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で階数付きD加群がEulerianとなり、これは同次多項式の古典的オイラー公式をどのように一般化するか？
• RQ2 任意の特性において、同次イデアル $ J_1, \dots, J_s $ に対して、局所コホホロジー加群 $ H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R) $ がEulerianであるか？
• RQ3 繰り返し局所コホホロジー加群 $ H^{i_0}_{\frak{m}}(H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R)) $ のすべてのソクル要素が次数$-n$に存在するか？これは任意の特性で成り立つか？
• RQ4 すべての階数付きF加群がEulerianであるか？そして、これは[Zha12]の主要結果を回復するか？
• RQ5 $ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(R/P) $ の自然な階数付けは何か？それは $ R/P $ のa不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の特性において、すべての局所コホホロジー加群 $ H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R) $ はEulerian graded D加群である。
• $ R(\ell) $ がEulerianであることと $ \ell = 0 $ が同値であり、$ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(\ell) $ がEulerianであることと $ \ell = n $ が同値である。ここで $ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}} $ は $ R/\frak{m} $ の階数付きインジェクティブ包因である。
• $ H^{i_0}_{\frak{m}}(H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R)) $ のすべてのソクル要素は次数$-n$に存在し、これは任意の特性で成り立つ。
• 繰り返し局所コホホロジー加群 $ H^{i_0}_{\frak{m}}(H^{i_1}_{J_1} \cdots H^{i_s}_{J_s}(R)) $ は、階数付きD加群として $ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(n) $ のコピーの直和と同型である。
• 階数付きF加群はEulerianであるため、[Zha12]の主要結果が特性に依存しない枠組みで回復される。
• $ \sideset{{}^{*}}{}{\operatorname{E}}(R/P) $ がEulerianであることと、$ \ell = a(R/P) + n $ とねじれをとったときが同値である。ここで $ a(R/P) $ は $ R/P $ のa不変量である。