[論文レビュー] Eulerian idempotent, pre-Lie logarithm and combinatorics of trees

Ruggero Bandiera, Florian Schätz|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、普遍包あらゆる代数におけるオイラー型イデムポテン（Eulerian idempotent）と、平面二分木の前Lie代数における前Lie対数（pre-Lie logarithm）との間の関係を確立する。アンブレル計算の技法を用いて前Lie対数を計算することで、PBW基底およびディンキン基底におけるオイラー型イデムポテンの明示的な組み合わせ的公式を導出し、それらを木によってインデックス付けられた反復Lie括弧の線形結合として表現する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to bring together the three objects in the title. Recall that, given a Lie algebra $\mathfrak{g}$, the Eulerian idempotent is a canonical projection from the enveloping algebra $U(\mathfrak{g})$ to $\mathfrak{g}$. The Baker-Campbell-Hausdorff product and the Magnus expansion can both be expressed in terms of the Eulerian idempotent, which makes it interesting to establish explicit formulas for the latter. We show how to reduce the computation of the Eulerian idempotent to the computation of a logarithm in a certain pre-Lie algebra of planar, binary, rooted trees. The problem of finding formulas for the pre-Lie logarithm, which is interesting in its own right -- being related to operad theory, numerical analysis and renormalization -- is addressed using techniques inspired by umbral calculus. As a consequence of our analysis, we find formulas both for the Eulerian idempotent and the pre-Lie logarithm in terms of the combinatorics of trees.

研究の動機と目的

• 自由リー代数の普遍包あらゆる代数におけるオイラー型イデムポテンの明示的公式を提供すること。
• 平面二分木の前Lie代数構造において、オイラー型イデムポテンと前Lie対数との関係を特定すること。
• アンブレル計算の技法を用いて、木の前Lie代数における前Lie対数の計算手法を開発すること。
• 木の組み合わせ論を用いて、PBW基底およびディンキン基底におけるオイラー型イデムポテンを表現すること。
• 木に基づく係数を用いて、バーカー＝キャンベル＝ハウスドルフ積およびマグナス展開の組み合わせ的枠組みを確立すること。

提案手法

• 平面二分木で張られるベクトル空間に前Lie代数構造を定義する。
• この前Lie代数における形式的べき級数として前Lie対数を導入し、可換代数における古典的対数に類似させる。
• アンブレル計算の技法を適用して、前Lie対数の係数の閉形式表現を導出する。
• PBW基底における再帰的公式を用いて、前Lie対数をもとにオイラー型イデムポテンを計算する。
• 鏡映的自己同型に関する不変性を確立し、係数計算を簡略化する。
• 一般化されたウォルピッツキの恒等式を用いて、PBW基底からの変換によりディンキン基底におけるオイラー型イデムポテンを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍包あらゆる代数におけるオイラー型イデムポテンは、どのように木の組み合わせ論を用いて表現できるか？
• RQ2 平面二分木の文脈において、オイラー型イデムポテンと前Lie対数との間の関係は何か？
• RQ3 アンブレル計算の技法を、木の前Lie代数における前Lie対数の計算に適応可能か？
• RQ4 ディンキン基底におけるオイラー型イデムポテンの展開における係数の背後にある組み合わせ的構造は何か？
• RQ5 この枠組みを用いて得られる木に基づく係数から、バーカー＝キャンベル＝ハウスドルフ積をどのように再構成できるか？

主な発見

• 自由リー代数の普遍包あらゆる代数におけるオイラー型イデムポテンは、平面二分木によってインデックスづけられた反復Lie括弧の線形結合として表現される。
• PBW基底展開における係数は、降順数と二項係数を含む公式で与えられ、アンブレル計算により導出される。
• 平面二分木の代数における前Lie対数は、アンブレル計算を用いて明示的に計算され、閉形式の表現が得られる。
• ディンキン基底におけるオイラー型イデムポテンは、一般化されたウォルピッツキの恒等式を用いてPBW表現から変換され、係数構造が簡略化される。
• 本手法により、オイラー型イデムポテンと前Lie対数との間の標準的リンクが確立され、後者は前者の計算のための道具として機能する。
• この枠組みにより、組み合わせ的に定義された係数を有する木に基づく反復括弧を用いて、バーカー＝キャンベル＝ハウスドルフ積を体系的に計算する方法が提供される。