[論文レビュー] Eulerian polynomials as moments, via exponential Riordan arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

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ひとこと要約

本稿では、指数型リーマン配列とその生成行列を用いて、降멱型オイラー多項式 $ P_n(x) $ 及びそのシフト版 $ P_{n+1}(x) $ が、特定の直交多項式族のモーメント列であることを示している。生成行列が三重対角であることを示すことにより、直交多項式の三項再帰関係を確立し、連分数およびハンケル変換を用いてその母関数を導出している。

ABSTRACT

Using the theory of exponential Riordan arrays and orthogonal polynomials, we demonstrate that the "descending power" Eulerian polynomials, and their once shifted sequence, are moment sequences for simple families of orthogonal polynomials, which we characterize in terms of their three-term recurrence. We obtain the generating functions of the polynomial sequences in terms of continued fractions, and we also calculate their Hankel transforms.

研究の動機と目的

• 指数型リーマン配列理論を用いて、オイラー多項式と直交多項式の間の関係を確立すること。
• オイラー多項式 $ P_n(x) $ 及び $ P_{n+1}(x) $ をモーメント列とする直交多項式を特徴付けること。
• これらの直交多項式の三項再帰関係を導出すること。
• 連分数を用いて、多項式列の母関数を計算すること。
• オイラー多項式に関連するモーメント列のハンケル変換を計算すること。

提案手法

• 生成関数 $ g $ および $ f $ を用いた指数型リーマン配列 $[g, f]$ の理論を用いる。
• リーマン配列の逆行列が直交多項式の係数行列であるための必要十分条件として、その生成行列が三重対角であることを利用する。
• 生成行列の2変数母関数を $ e^{xy}(Z(x) + A(x)y) $ として導出する。ここで $ A(x) = f'(ar{f}(x)) $ および $ Z(x) = g'(ar{f}(x))/g(ar{f}(x)) $ である。
• $ f(x) $ の合成逆関数 $ ar{f}(x) $ を計算し、$ A(x) $ および $ Z(x) $ を明示的に表現する。
• 生成行列の三重対角構造を用いて、直交多項式の三項再帰関係を導出する。
• モーメント列の母関数に連分数表現を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー多項式 $ P_n(x) $ は、ある直交多項式族のモーメント列として解釈可能か？
• RQ2 モーメントが $ P_n(x) $ である直交多項式を特徴付ける三項再帰関係は何か？
• RQ3 リーマン配列枠組みを用いて、$ P_n(x) $ の母関数を連分数としてどのように表現できるか？
• RQ4 列 $ P_n(x) $ のハンケル変換は何か？ また、生成行列からどのように導出されるか？
• RQ5 $ P_n(x) $ から $ P_{n+1}(x) $ へのシフトが、モーメント列およびその直交多項式による特徴付けに与える影響は何か？

主な発見

• オイラー多項式 $ P_n(x) $ は、$ Q_0(t) = 1 $、$ Q_1(t) = t - 1 $ を満たす再帰関係 $ Q_n(t) = (t - ((n-1)x + n))Q_{n-1}(t) - (n-1)^2 x Q_{n-2}(t) $ で定義される直交多項式のモーメント列である。
• シフトされた列 $ P_{n+1}(x) $ は、類似した三項再帰関係を持つ関連する直交多項式族のモーメント列としても特徴付けられる。
• モーメント列 $ P_n(x) $ の母関数は、指数型リーマン配列の生成行列から導かれた連分数として与えられる。
• $ P_n(x) $ のハンケル変換が計算され、モーメント行列の行列式構造と関連していることが示された。
• 指数型リーマン配列 $[g,f] $ の生成行列が、$ g(t) = \frac{(1-x)e^{(1-x)t}}{1 - x e^{(1-x)t}} $ および $ f(t) = \frac{e^{(1-x)t} - 1}{1 - x e^{(1-x)t}} $ のとき、三重対角であることが証明され、直交多項式構造が確認された。
• 三重対角生成行列の条件から自然に生じる微分方程式 $ dy/dt = (1 + \beta y)(1 + \beta y) $ は、ロジスティック方程式の変種と関連している。