[論文レビュー] Eulerian polynomials on segmented permutations

Arthur Nunge|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2種類の粒子が関与する排他過程に由来するバーを伴う分割順列における降下統計量を用いて、一般化されたオイラー多項式および一般化されたオイラー数を導入する。これは古典的オイラー多項式および順序ベル多項式を拡張するものであり、$q$-アナログの母関数を導出し、Worpitzky型の恒等式を確立することで、スターリング数や順序ベル数といった組合せ的数列を、分割組成の準対称関数における非可換ホップ代数構造を通じて統一する。

ABSTRACT

We define a generalization of the Eulerian polynomials and the Eulerian numbers by considering a descent statistic on segmented permutations coming from the study of 2-species exclusion processes and a change of basis in a Hopf algebra. We give some properties satisfied by these generalized Eulerian numbers. We also define a $q$-analog of these Eulerian polynomials which gives back usual Eulerian polynomials and ordered Bell polynomials for specific values of its variables. We also define a noncommutative analog living in the algebra of segmented compositions. It gives us an explicit generating function and some identities satisfied by the generalized Eulerian polynomials such as a Worpitzky-type relation.

研究の動機と目的

• 2種類の粒子が関与する排他過程に由来するバーを伴う分割順列における降下統計量を導入することで、オイラー多項式およびオイラー数を一般化すること。
• 特定のパrameter値で標準的オイラー多項式および順序ベル多項式を回復する$q$-アナログを定義すること。
• 分割組成の代数における非可換アナログを構成し、新たな母関数の恒等式を可能とすること。
• 一般化された多項式に対してWorpitzky型の恒等式を確立し、古典的結果をより広い組合せ的枠組みへ拡張すること。

提案手法

• 分割順列および分割組成を定義し、それらに降下統計量および分割統計量を導入する。
• 降下が$i$個でバーが$j$個のときの一般化オイラー数$T(n,k)$および精細な数え上げ$K(n,i,j)$を導入する。
• 標準的オイラー多項式および順序ベル数を一般化する$q$-アナログ多項式$\alpha_n(t,q) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{P}_n} t^{\operatorname{des}(\sigma)} q^{\operatorname{seg}(\sigma)}$を構成する。
• リボン基底$R_I$を用いて代数$\mathbf{SCQSym}$内に非可換アナログ$\mathcal{A}_n(t,q)$を構成し、$S^I$を用いた明示的表現を得る。
• 級数展開および代数的変形により、母関数$G(t,q,x) = 1 + \frac{e^{x(1-t)} - 1}{1 + q - (t + q)e^{x(1-t)}}$を導出する。
• 母関数を用いて、離散微分と係数$K(n,i,j)$を含む一般化されたWorpitzky恒等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーの配置と降下統計量を伴う分割順列におけるオイラー多項式は、どのように一般化できるか？
• RQ2 $q$-アナログ$\alpha_n(t,q)$の構造は何か？ また、それがオイラー多項式と順序ベル多項式をどのように統一するか？
• RQ3 代数$\mathbf{SCQSym}$において、一般化されたオイラー多項式の非可換アナログを構成できるか？ その母関数は何か？
• RQ4 一般化されたオイラー数$K(n,i,j)$に対してWorpitzky型の恒等式が成り立つか？ また、単項式の離散微分とどのように関係するか？
• RQ5 一般化されたオイラーの三角形および四面体が示す組合せ的性質（例：単峰性）は何か？

主な発見

• 多項式$\alpha_n(t,q)$の母関数は明示的に$G(t,q,x) = 1 + \frac{e^{x(1-t)} - 1}{1 + q - (t + q)e^{x(1-t)}}$として与えられ、完全な解析的記述が得られる。
• パrameter $q=0$ に特異化すると、古典的オイラー多項式$P_n(t)$が回復され、$t=0$ に特異化すると順序ベル多項式が得られる。
• 一般化されたWorpitzky恒等式が証明された：$\binom{k+r-1}{r}\Delta^{r+1}((k-1)^n) = \sum_{i=0}^{k-1} \binom{n+k-i}{n-1} K(n,i,r)$、これは古典的結果を拡張する。
• 非可換アナログ$\mathcal{A}_n(t,q)$は$\sum_{I|\!|\!=n} t^{\operatorname{des}(I)} q^{\operatorname{seg}(I)} R_I$として表現され、代数的変形により閉形式の母関数が導出された。
• 係数$K(n,i,j)$が$n=1000$までに行および列において単峰性であることが示され、予想される組合せ的構造を支持する。
• 多項式$\alpha_n(t,q)$の母関数は、Dobiński型の恒等式を導く：$\frac{P_n(t)}{(1-t)^{n+1}} = \sum_{k \geq 0} (1+t)^{k-1} \frac{k^n}{2^{k-1}}$、既知のオイラー多項式の恒等式を一般化する。