[論文レビュー] Eulerian time-stepping schemes for the non-stationary Stokes equations on time-dependent domains

Erik Burman, Stefan Frei+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する領域における非定常ストークス方程式に対して、境界条件にニツェの法を用い、ゴーストペナルティ安定化を用いて前時刻の解値を暗黙的に拡張する幾的に不適合な有限要素法を用いた、新しいオイラー的時間ステッピングスキームを提示する。主な貢献は、速度誤差の最適な $ L^2(L^2) $-ノルム誤差境界を証明する包括的な事前誤差解析である。

ABSTRACT

This article is concerned with the discretisation of the Stokes equations on time-dependent domains in an Eulerian coordinate framework. Our work can be seen as an extension of a recent paper by Lehrenfeld & Olshanskii [ESAIM: M2AN, 53(2):585-614, 2019], where BDF-type time-stepping schemes are studied for a parabolic equation on moving domains. For space discretisation, a geometrically unfitted finite element discretisation is applied in combination with Nitsche's method to impose boundary conditions. Physically undefined values of the solution at previous time-steps are extended implicitly by means of so-called ghost penalty stabilisations. We derive a complete a priori error analysis of the discretisation error in space and time, including optimal $L^2(L^2)$-norm error bounds for the velocities. Finally, the theoretical results are substantiated with numerical examples.

研究の動機と目的

• 時間に依存する領域における非定常ストークス方程式のための安定的かつ高精度な時間ステッピングスキームの開発。
• 解が $ t_{n-1} $ において $ \Omega(t_{n-1}) $ 上で定義されているが、次に $ \Omega(t_n) $ 上で必要となるという、時刻間の解データの移行の課題の克服。
• 空間時間離散化の包括的な事前誤差解析を提供し、速度誤差の $ L^2(L^2) $-ノルムにおける最適収束率を示すこと。
• ゴーストペナルティ安定化を組み込むことで、不適合有限要素法の時間依存問題への適用範囲を拡張し、時刻間の解の暗黙的拡張を可能とすること。

提案手法

• 背景メッシュが領域境界に依存しない幾的に不適合な有限要素法を採用し、メッシュ再構築を必要とせず任意の領域運動を可能にする。
• 移動境界上での境界条件を弱く強制するためにニツェの法を用い、ボディ適合メッシュを必要とせず安定性と整合性を確保する。
• 前時刻の解 $ \bm{u}_h(t_{n-1}) $ を現在の領域 $ \Omega(t_n) $ に暗黙的に拡張するためにゴーストペナルティ安定化を適用し、明示的な投影や補間を回避する。
• 時間積分には後退差分公式（BDF）型を用い、時間微分を現在の領域上で変分形式で近似する。
• 時間領域の変換 $ \bm{T}(t) $ を用いて参照座標系に写像し、固定領域 $ \hat{\Omega} $ 上で標準的な有限要素ツールを適用可能にした後、物理領域に戻す。
• エネルギー法を用いて事前誤差推定を導出し、Gronwallの不等式を含むことで、速度誤差の $ L^2(L^2) $-ノルムを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域再メッシュやALEマッピングを必要とせず、時間に依存する領域における非定常ストークス方程式のための安定的かつ収束性を有する時間ステッピングスキームを開発可能か？
• RQ2 前時刻の解値が物理的に定義されていない領域に、安定的かつ整合的に解値を拡張する方法は何か？
• RQ3 時間変動領域における空間時間離散化において、速度誤差の $ L^2(L^2) $-ノルムにおける最適収束率は何か？
• RQ4 ゴーストペナルティ安定化は、時間依存領域問題の時間ステッピングスキームにおいて、明示的な投影や補間を効果的に置き換えられるか？

主な発見

• 提案スキームは、速度誤差に関して最適な $ L^2(L^2) $-ノルム誤差境界を達成し、空間および時間方向の最適収束を確認した。
• 事前誤差解析により、領域運動の標準的仮定と有限要素の正則性の下で、スキームの安定性と収束性が確立された。
• ゴーストペナルティ安定化により、過去の解値が現在の領域に暗黙的に拡張可能となり、明示的投影の必要がなくなり、精度が保持された。
• 連続的なメッシュマッピングに依存しないため、大規模な領域変形やトポロジー変化に対しても、本手法は頑健であった。
• 数値例は理論的誤差境界を確認し、移動領域上での手法の頑健性と効率性を示した。