[論文レビュー] Evaluating the incompleteness magnitude using an unbiased estimate of the $b$ value

C. Godano, Giuseppe Petrillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2023

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限サンプルサイズによる$b$値推定器のバイアスと、Gutenberg-Richter（GR）則からの逸脱に起因するバイアスを活用することで、地震カタログにおける完全性マグニチュード$m_c$を推定する新規手法を提案する。バイアスをマグニチュードの変動係数（CV）の二乗に比例するとモデル化し、真のGR分布を示す境界として$CV = 1$となる閾値を$m_c$として特定する。本手法は合成カタログ上で検証され、カリフォルニア南西部、日本、ニュージーランドの実データに適用された結果、従来手法に比べてより高いロバスト性を示した。

ABSTRACT

The evaluation of the $b$ value of the Gutenberg-Richter (GR) law, for a sample composed of $n$ earthquakes, presents a systematic positive bias $δb$ which is proportional to $1/n$, as already observed by Ogata \& Yamashina (1986). In this study we show how to incorporate in $δb$ the bias introduced by deviations from the GR law. More precisely we show that $δb$ is proportional to the square of the variability coefficient $CV$, defined as the ratio between {the standard deviation of the magnitude distribution and its mean value.} When the magnitude distribution follows the GR law $CV=1$ and this allows us to introduce a new procedure, based on the dependence of $b$ on $n$, which allows us to {identify} the incompleteness magnitude $m_c$ as the threshold magnitude leading to $CV=1$. The method is tested on synthetic catalogs and it is applied to estimate $m_c$ in Southern California, Japan and New Zealand.

研究の動機と目的

• 有限サンプルサイズとGR則からの逸脱に起因する$b$-値推定の系統的バイアスに対処すること。
• 平均値の安定性に加え、マグニチュード分布の高次モーメントを組み込むことで、$m_c$推定の精度を向上させること。
• 完全な分布適合や任意の閾値に依存しない、データ駆動型の$m_c$特定手法を提供すること。
• 本手法を合成カタログおよびカリフォルニア南西部、日本、ニュージーランドの実地球震動データに適用してテストすること。
• $CV = 1$が真のGR領域を示す信頼性の高い指標であることを示し、正確な$m_c$検出を可能にすること。

提案手法

• 中心極限定理を用いて$b$-値推定器のバイアスを導出し、$1/n$に比例し、マグニチュードの変動係数（CV）に依存することを示す。
• 「$y_n(m_{th}) = CV^2$」を定義し、ここで$CV$は閾値$m_{th}$より大きなマグニチュードの標準偏差と平均の比である。$y_n$の飽和を用いて$m_c$を特定する。
• 理論的予測では、真のGR分布では$\langle b_n \rangle = b(1 + 1/n)$であり、$n \to \infty$のとき$y_n(m_{th}) \to 1$となる。
• 本手法では、$y_n(m_{th})$が$CV^2 = 1$に安定するマグニチュード$m_{th}$を$m_c$として特定する。これは真のGR分布の開始を示している。
• 異なる$m_{th}$値における$\langle b_n \rangle$と$y_n(m_{th})$の挙動を比較し、不完全な分布から完全な分布への遷移を検出する。
• 本手法は合成カタログ上で検証され、カリフォルニア南西部、日本、ニュージーランドの実地震カタログに適用された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限サンプルサイズに起因する$b$-値推定バイアスは、地震マグニチュード分布におけるGR則からの逸脱とどのように関係しているか？
• RQ2 マグニチュードの変動係数（CV）は、完全性マグニチュード$m_c$を信頼性高く示す指標として用いられるか？
• RQ3 $CV^2$が1に飽和することは、従来の$b$-値安定性手法に比べて、$m_c$の判定基準としてよりロバストか？
• RQ4 本手法は、多様な地震地域における既存の$m_c$推定手法と比較して、精度と安定性に優れているか？
• RQ5 $y_n(m_{th})$の挙動の逸脱を用いて、データ品質の問題やカタログの不完全性を検出できるか？

主な発見

• $b$-値推定の系統的バイアスは$1/n$に比例し、マグニチュード分布の変動係数の二乗（$CV^2$）にも依存する。
• マグニチュード分布が真のGR則に従う場合、$CV = 1$となり、$n$が大きいとき$y_n(m_{th}) = CV^2$は1に飽和する。これは、$m_c$検出の明確な基準となる。
• 合成カタログでは、$y_n(m_{th})$が$CV^2 = 1$に安定する$m_{th}$を検出し、平均値のみに依存する$b$-値安定性手法を上回る性能を示した。
• 実データでは、カリフォルニア南西部で$m_c \approx 2.5$、日本で$m_c \approx 3.0$、ニュージーランドで$m_c \approx 2.0$が特定され、既知のカタログ特性と整合的であった。
• $y_n(m_{th})$対$1/n$の可視化により、日本カタログに見られる非GR行動といったデータ品質の問題が判明した。これは単に$b$-値安定性では検出できない。
• 本手法は、第一および第二のモーメントを統合した統計的に根拠のある、モーメントに基づく基準を提供し、$m_c$推定のロバスト性を向上させた。