[論文レビュー] Evaluation of composition function along with invariant vector fields on Lie group using structural constants of corresponding Lie algebra

А. А. Магазев, V. V. Mikheyev+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リー代数の構造定数を用いて、リー群上の合成関数、左不変および右不変ベクトル場、微分1形式を構成する手法を提案する。第二標準座標を用いることで、問題は行列の逆行列計算および行列指数関数への帰着され、合成関数は quadrature で表現可能となり、標準座標系間の変換も quadrature によって計算可能となる。

ABSTRACT

Methods of construction of the composition function, left- and right-invariant vector fields and differential 1-forms of a Lie group from the structure constants of the associated Lie algebra are proposed. It is shown that in the second canonical coordinates these problems are reduced to the matrix inversions and matrix exponentiations, and the composition function can be represented in quadratures. Moreover, it is proven that the transition function from the first canonical coordinates to the second canonical coordinates can be found by quadratures.

研究の動機と目的

• リー群上の合成関数、左不変および右不変ベクトル場、微分1形式を体系的に構成するための手法を開発すること。
• これらの構成の基本入力として、関連するリー代数の構造定数を用いること。
• 第二標準座標を用いることで、これらの幾何的対象の計算を線形代数演算に簡略化すること。
• 第一および第二標準座標系間の変換が quadrature によって計算可能であることを確立すること。
• 座標系のチャートではなく代数的データ（構造定数）に基づく、リー群解析の構成的フレームワークを提供すること。

提案手法

• リー代数の構造定数を用いて、左不変ベクトル場のリー括弧関係を定義する。
• 第二標準座標を導入し、群の乗法問題を線形化し、行列演算に帰着する。
• 第二標準座標系における逆元の計算に行列の逆行列を適用する。
• 行列指数関数を用いて、構造定数から合成関数を再構成する。
• 合成関数を quadrature 形式で表現し、群の作用の解析的積分を可能にする。
• 構造定数に基づいて、第一から第二標準座標系への変換関数を積分（quadrature）により導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群の合成関数は、そのリー代数の構造定数からどのように体系的に導出可能か？
• RQ2 第二標準座標は、不変ベクトル場および微分形式の計算をどのように簡略化するか？
• RQ3 第一および第二標準座標系間の変換は、積分を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ4 行列演算（逆行列および指数関数）は、リー群理論における座標に基づく構成をどの程度置き換えることができるか？
• RQ5 構造定数のみから導出された不変幾何的対象の解析的取り扱いは、どの程度可能か？

主な発見

• リー群の合成関数は、第二標準座標における構造定数と行列指数関数を用いて quadrature で表現可能である。
• 左不変および右不変ベクトル場、微分1形式は、行列演算を介して構造定数から直接構成可能である。
• 第一から第二標準座標系への変換関数は quadrature によって計算可能であり、両座標系間の閉形式的関係が確立される。
• 第二標準座標の使用により、非線形な群の乗法問題が線形代数演算の系列に変換され、計算が著しく簡略化される。
• 行列の逆行列および行列指数関数は、代数的データから群構造を再構成するための核心的計算エンジンをなす。
• このフレームワークは一貫性があり構成的であり、座標系のチャートに依存しない純粋な代数的入力からリー群上の幾何的対象を解析的に取り扱える。