[論文レビュー] Evaluation of DNF Formulas

Sarah R. Allen, Lisa Hellerstein+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Machine Learning and Algorithms参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意のコストと積分布の下で単調なDNF式に対する確率的ブール関数評価（SBFE）問題を研究する。近似アルゴリズムを提示し、性能保証が有界であることを示す——単調な$k$-DNFに対しては$\frac{4}{\rho^k}$、単調な$k$-項DNFに対しては$\max\{2k, \frac{2}{\rho}(1+\ln k)\}$の性能比を達成する。一方で、近似要因が$\Omega((\log kd)^\epsilon)$以上でなければならないことを証明し、従来の境界の近似的最適性を示している。

ABSTRACT

Stochastic Boolean Function Evaluation (SBFE) is the problem of determining the value of a given Boolean function $f$ on an unknown input $x$, when each bit of $x_i$ of $x$ can only be determined by paying a given associated cost $c_i$. Further, $x$ is drawn from a given product distribution: for each $x_i$, $Prob[x_i=1] = p_i$, and the bits are independent. The goal is to minimize the expected cost of evaluation. Stochastic Boolean Function Evaluation (SBFE) is the problem of determining the value of a given Boolean function $f$ on an unknown input $x$, when each bit of $x_i$ of $x$ can only be determined by paying a given associated cost $c_i$. Further, $x$ is drawn from a given product distribution: for each $x_i$, $Prob[x_i=1] = p_i$, and the bits are independent. The goal is to minimize the expected cost of evaluation. In this paper, we study the complexity of the SBFE problem for classes of DNF formulas. We consider both exact and approximate versions of the problem for subclasses of DNF, for arbitrary costs and product distributions, and for unit costs and/or the uniform distribution.

研究の動機と目的

• 任意のコストと積分布の下でDNF式の部分クラスに対する確率的ブール関数評価（SBFE）の複雑さを分析すること。
• 単調な$k$-DNFおよび$k$-項DNF式に対して、性能保証が保証された近似アルゴリズムを開発すること。
• 到達可能な近似要因に対するタイトな下界を確立し、期待される証拠コストに関して既存の$O(\log kd)$境界がほぼ最適であることを示すこと。
• 平均的決定木の深さと平均的証拠サイズの関係を調査し、いくつかのケースで指数的ギャップが存在することを示すこと。

提案手法

• $k$-DNFに対するSBFE問題をNP困難に還元し、このクラスにおける計算的非効率性を確立する。
• 単調な$k$-DNFに対する近似アルゴリズムを提案し、性能保証として$\frac{4}{\rho^k}$を達成する。ここで$\rho$は$p_i$または$1-p_i$の最小値である。
• 非ユニットコストに対しては、修正されたラウンドロビン戦略を導入し、ユニットコストと一様分布下でも$O(\log kd)$の近似境界を維持する。
• Kaplanらのアルゴリズムを拡張し、非ユニットコストと非一様分布に対応可能にし、$O(\frac{1}{\rho}\log kd)$の近似要因を達成する。
• 項数が$n^\beta$である確率的DNF式の分析を通じて、$E_{f}[OPT]/E_{f}[CERT]$の比に対する下界を導出する。
• 任意の$\epsilon \in (0,1)$に対して、下界が$\Omega((\log kd)^\epsilon)$であることを示すことにより、$O(\log kd)$の近似要因が、部分多項式要因を除いて最適であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコストと積分布の下で、単調な$k$-DNF式の評価に対して達成可能な近似比は何か？
• RQ2 単調なCDNF式に対する$O(\log kd)$の近似境界は改善可能か、それともほぼ最適か？
• RQ3 DNF式に対して、最適なSBFE戦略の期待コストと期待証拠コストの関係はいかなるものか？
• RQ4 ブール関数に対して、平均的決定木の深さと平均的証拠サイズの間に超定数ギャップが存在するか？
• RQ5 CDNF式において単調性の仮定を除去した場合、$O(\log kd)$の近似境界を維持できるか？

主な発見

• $k$-DNFに対するSBFE問題は、$k=2$の場合でさえNP困難であることが示され、このクラスにおける計算的困難性が確立された。
• 単調な$k$-DNFに対する近似アルゴリズムは、最適コストに対して$\frac{4}{\rho^k}$の性能比を達成する。ここで$\rho = \min_i \min(p_i, 1-p_i)$である。
• 単調な$k$-項DNFに対しては、近似要因が$\max\{2k, \frac{2}{\rho}(1+\ln k)\}$に達する。
• 単調な$k$-項DNFに対するSBFE問題は、$k$が定数であれば多項式時間で正確に解ける。
• 単調なCDNF式に対する$O(\log kd)$の近似要因は、下界が任意の$\epsilon \in (0,1)$に対して$\Omega((\log kd)^\epsilon)$であるため、ほぼ最適である。
• 任意の$\epsilon \in (0,1)$に対して、$E_{f}[OPT]/E_{f}[CERT]$の比が$\Omega(n^\epsilon)$に達するブール関数が存在し、平均的深さが平均的証拠サイズよりも指数的に大きいことが示された。