[論文レビュー] Evaluation of Multi-Sums for Large Scale Problems

J. Blümlein, A. Hasselhuhn+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、量子場の理論における3ループフェニマン積分から生じる大規模な多重和表現を簡略化するため、差分体理論に基づく完全自動の記号的総和法を提示する。MathematicaパッケージEvaluateMultiSumsおよびSumProductionを用いて、調和和、S-和、および円分和を用いたコンパクトなネストされた積和表現に変換し、大規模な振幅の効率的なε-展開を可能にする。フェルミオン的グルーオン作用素行列要素の完全な3ループ計算によって実証された。

ABSTRACT

A big class of Feynman integrals, in particular, the coefficients of their Laurent series expansion w.r.t.\ the dimension parameter $\ep$ can be transformed to multi-sums over hypergeometric terms and harmonic sums. In this article, we present a general summation method based on difference fields that simplifies these multi--sums by transforming them from inside to outside to representations in terms of indefinite nested sums and products. In particular, we present techniques that assist in the task to simplify huge expressions of such multi-sums in a completely automatic fashion. The ideas are illustrated on new calculations coming from 3-loop topologies of gluonic massive operator matrix elements containing two fermion lines, which contribute to the transition matrix elements in the variable flavor scheme.

研究の動機と目的

• 3ループフェニマン積分に起因する大規模で複雑な多重和表現を自動的に簡略化するための手法を開発すること。
• 質量のある作用素行列要素のε（次元正則化）におけるローラン級数係数を効率的に計算できることを実現すること。
• 多重和を代数的に独立なネストされた積和に変換することで、大規模な振幅計算の計算コストとメモリ使用量を低減すること。
• 多重和評価と係数抽出のスケーラブルで並列化可能なルーチンを用いて、このような計算の大量生産を支援すること。
• 調和和、S-和、および円分和といったよく知られた特殊関数を用いた結果の体系的表現フレームワークを提供すること。

提案手法

• 差分体理論とΠΣ-体を活用し、フェニマン積分に由来する多重和を不定ネストされた積和表現に記号的に簡略化する。
• 再帰に基づく記号的総和と創造的テレスコーピングを用いて、多重和の線形再帰を導出し、解くためにSigmaパッケージを用いる。
• 2段階のパイプラインを導入する：(1) 範囲同期化と代数的基底の簡略化により2419個の多重和を29個の主要和に削減し、(2) EvaluateMultiSumsを用いた主要和の並列ε-展開。
• SumProductionを用いて大規模計算を管理し、表現式を超幾何的項h(n, i1, i2, ε)と有理関数r(n, i1, i2, ε)に分割することでモジュラー処理を可能にする。
• HarmonicSumsパッケージを用いて調和和および円分和を簡略化し、最終結果をS1(n)、S2(n)、S3(n)などに表現する。
• 各和が独立に処理され、後から結果を統合される、障害に強いファイルベースの並列実行モデルを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3ループフェニマン積分に由来する多重和表現を、代数的に独立なネストされた積和に体系的に簡略化する方法は何か？
• RQ2 質量のある作用素行列要素のεにおけるローラン級数係数を自動で導出できる記号的総和技法は何か？
• RQ3 数千個の多重和を扱えるスケーラブルで並列化可能なフレームワークを、大規模な量子場の理論計算に構築できるか？
• RQ4 2419個の多重和を含む2 GBの式を、調和和およびS-和のコンパクトな表現に変換する際の性能とメモリ効率はどの程度か？
• RQ5 複雑なインデックス依存性を有する多重和の再帰的簡略化において、極構造と和の上限をどのようにきめ細かく管理できるか？

主な発見

• 2 GBの2419個の多重和を含む式を、7.6 MBのコンパクトな表現に簡略化した。この表現には29個の和と15個の有理関数項が含まれており、6時間53分で完了した。
• すべての主要和のε-展開を並列処理で2時間35分で完了し、各和の展開時間は通常の1つの和を処理するのと同等の時間がかかった。
• すべての部分結果を統合した最終結果は、100 KBのメモリで収容可能であり、ζ2、ζ3、(−1)^n、S1(n)、S2(n)、S3(n)、S2,1(n)、S3,1(n)、S2,1,1(n)の形式で表現された。
• 全計算プロセス（簡略化、展開、統合）は約9.5時間で完了し、大規模生産の可能性を実証した。
• 再帰の解法にあらゆる失敗がなく、完全に自動化された。失敗が発生した場合も、不適切な和の表現に起因し、改善することで成功率を回復できることが判明した。
• 従来では取り扱えなかった3ループ振幅、特にグルーオン質量作用素行列要素へのフェルミオン的寄与の計算を、完全に記号的かつ効率的に可能にした。