[論文レビュー] Evaluation of one-dimensional polylogarithmic integral, with applications to infinite series

Kam Cheong Au|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Advanced Mathematical Identities被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、反復積分と正則化技術を用いて、ポリログラムおよび一般化ポリログラムを含む1次元積分を体系的に評価する手法を提示する。多数のアペリー型無限級数および定積分について閉形式の評価を導出し、色付き多重ゼータ値（CMZV）、多重ゼータ値、およびカタラン定数やディリクレのベータ関数などの特別な定数を用いて結果を表現する。

ABSTRACT

We give systematic method to evaluate a large class of one-dimensional integral relating to multiple zeta values (MZV) and colored MZV. We also apply the technique of iterated integrals and regularization to elucidate the nature of some infinite series involving binomial coefficients. This technique can be applied to many Ap\\'ery-type infinite sums.

研究の動機と目的

• 通常および一般化ポリログラムを含む1次元積分を評価する一般的手法の開発。
• 二項係数および逆中央二項係数を含む無限級数を体系的に評価し、特にアペリー型和を対象とする。
• 結果を色付き多重ゼータ値（CMZV）で表現すること、特にレベル2およびレベル4について、その代数的構造を明確化すること。
• 従来の予想や難解とされた無限級数の明示的評価を提供すること。特に $\operatorname{Li}_n(1/2)$、$\operatorname{Li}_n((1+i)/2)$、$\beta(4)$ を含むもの。
• 反復積分と正則化を用いて、複雑なポリログラム積分および級数を代数的に構造化された定数に還元する枠組みを確立すること。

提案手法

• 複素平面上の経路における反復積分を、微分形式の引き戻しによって定義し、ポリログラムを含む被積分関数を表現する。
• 一般化ポリログラム関数の評価に伴い生じる発散または特異な積分を処理するために正則化技術を適用する。
• ホフマン＝ラシネットの代数的枠組みを用いて、反復積分を標準的なMZVおよびCMZV基底の組み合わせに操作・簡約する。
• 4-適切な有理関数に対する $S_3 \times S_4$ 対称性群作用を用いて、等価な積分表現を生成し、評価を簡略化する。
• フーリエ＝レジェンドル展開および関数方程式を適用し、積分を $\operatorname{Li}_n(z)$ および $\zeta(s)$ の既知の特別値と関連付ける。
• ResearchGate で公開されているカスタム Mathematica パッケージ（$n \leq 8$ に対して特に $\operatorname{Li}_n(x)$ を含む明示的積分の計算・検証に使用）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復積分と正則化を用いて、ポリログラムを含む1次元積分をどのように体系的に評価できるか。
• RQ2 $\binom{2n}{n}^{-1}$、$\binom{3n}{n}^{-1}$、および調和和を含む無限級数の代数的構造は何か。また、それらを既知の定数にどのように還元できるか。
• RQ3 アペリー型級数の閉形式に現れる $\operatorname{Li}_n(1/2)$、$\operatorname{Li}_n((1+i)/2)$、$\beta(4)$、$\zeta(3)$ の組み合わせはどのようなものか。
• RQ4 レベル2およびレベル4の色付き多重ゼータ値（$\textsf{CMZV}^2_n$、$\textsf{CMZV}^4_n$）は、このような積分および級数の評価においてどのように自然に現れるか。
• RQ5 代数的および解析的技法を用いて、$\operatorname{Li}_2(-4x/(1-x)^2)$ および $\log^k(1+x)$ を含む積分の評価を、既知の特別な定数に還元できるか。

主な発見

• 級数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{H_{n-1}^{(2)}}{n^3} \left[2^n \binom{2n}{n}^{-1}\right]$ は $\frac{\pi^3 C}{24} - \pi \beta(4) - \frac{3\pi^2 \zeta(3)}{128} + \frac{527 \zeta(5)}{256} + \frac{1}{384} \pi^4 \log 2$ に等しく、ここで $C$ はカタラン定数である。
• 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5 2^n \binom{3n}{n}}$ は閉形式で $4\pi \Im\left(\operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) + 3\pi \beta(4) - \frac{51}{2} \operatorname{Li}_5\left(\frac{1}{2}\right) - 15 \operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right) \log 2 + \frac{\pi^2 \zeta(3)}{4} + \frac{9\zeta(5)}{2} - 3\zeta(3) \log^2 2 - \frac{97}{240} \log^5 2 + \frac{41}{144} \pi^2 \log^3 2 - \frac{61}{960} \pi^4 \log 2$ に等しく、ボーヴァンの予想を確認する。
• 積分 $\int_0^1 \frac{\operatorname{Li}_2(-4x/(1-x)^2) \operatorname{Li}_3(1-x^2)}{x} dx$ は $\operatorname{Li}_4(1/2)$、$\zeta(3)^2$、$\zeta(5)\log 2$、$\pi^6$、$\log^4 2$、および $\pi^4 \log^2 2$ の組み合わせに等しい。
• 積分 $\int_0^1 \frac{\log^2(1-x) \log^2 x \log^3(1+x)}{x} dx$ は、$\operatorname{Li}_5(1/2)^2$、$\operatorname{Li}_6(1/2)$、$\zeta(3)^2$、$\pi^8$、およびさまざまな対数の累乗を含む極めて複雑な式をもたらし、レベル2の重み8のCMZV項は欠落していない。
• 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^{\pm 1}$ は $\textsf{CMZV}^2_S$ に属し、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^{-2}$ は $\textsf{CMZV}^4_S$ に属し、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^2$ は $\frac{1}{\pi} \textsf{CMZV}^4_{S+1}$ に属する。ここで $a_n = 4^{-n} \binom{2n}{n}$ である。
• レベル4の重み5のCMZVの完全な還元が計算され、このような積分および級数の記号的評価に使用可能な Mathematica パッケージが提供されている。