[論文レビュー] Evaluation of some second moment and other integrals for the Riemann, Hurwitz, and Lerch zeta functions

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2011

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ひとこと要約

本稿では、複素解析および積分変換を用いて、リーマン、ハイゼット、レルヒのゼータ関数の2次モーメントに関する新しい積分評価を導出する。主な結果として、∫|ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt = 2π(ln(2π)−γ) が得られ、γ はオイラー＝マセルローニ定数である。これは既知の結果を拡張し、対数的重みを伴う分数部分の積分に対する漸近形を与える。

ABSTRACT

Several second moment and other integral evaluations for the Riemann zeta function $ζ(s)$, Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$, and Lerch zeta function $Φ(z,s,a)$ are presented. Additional corollaries that are obtained include previously known special cases for the Riemann zeta function $ζ(s)=ζ(s,1)=Φ(1,s,1)$. An example special case is: $$\int_R {{|ζ(1/2+it)|^2} \over {t^2+1/4}}dt=2π[\ln(2π)-γ],$$ with $γ$ the Euler constant. The asymptotic forms of certain fractional part integrals, with and without logarithmic factors in the integrand, are presented. Extensions and other approaches are mentioned.

研究の動機と目的

• リーマン、ハイゼット、レルヒのゼータ関数の2次モーメントに関する新しい積分評価を導出すること。
• 特に臨界線 ℜ(s) = 1/2 に関連するリーマンゼータ関数の既知の結果を拡張すること。
• 対数因子を伴う・伴わない分数部分の積分に対する漸近形を提供すること。
• ディリクレL関数へと結果を一般化し、ディガマ関数やトランスセンドental関数などの特殊関数との関係を検討すること。
• 交代的ハイゼットゼータ関数およびレルヒトランスシーデントを含む新しい恒等式を確立すること。

提案手法

• 複素解析および積分変換を用いて、複素平面上の垂直線に沿った ζ(s,a)、ζ(s)、Φ(z,s,a) の2次モーメント積分を評価する。
• レルヒゼータ関数 Φ(z,s,a) の関数方程式および解析接続を適用して、積分恒等式を導出する。
• ポッホハマー記号 (a)ₘ およびハイゼットゼータ関数の性質を用いて、結果をゼータ関数およびポリガンマ関数の形で表現する。
• デルタ関数およびフーリエ積分恒等式を用いて、分数部分を含む二重積分を評価する。
• 部分分数展開およびコーシー積分路の技法を用いて、三角関数および対数項を含む振動的積分を評価する。
• 補題1および補題3を用いて、∑_{n=1}^∞ ∫_{n}^{n+1} P₁²(x)/x²σ+1 dx の形の積分を整数区間上の和の恒等式により評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界線上での2次モーメント積分 ∫|ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt の正確な値は何か？
• RQ2 σ > 1 に対して、ハイゼットゼータ関数 ζ(s,a) の2次モーメントは、どのようにゼータ関数で表現できるか？
• RQ3 被積分関数に対数的重みを含む分数部分の積分の漸近的挙動は何か？
• RQ4 リーマンゼータ関数に関する結果を交代的ハイゼットゼータ関数およびディリクレL関数へと拡張できるか？
• RQ5 |ζ(s)/s|² の積分とディガマ関数の特別値との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• σ > 1 および a > 0 に対して、∫_{-∞}^{∞} |ζ(s,a)/s|² dt = (π/σ)[2ζ(2σ−1,a) + (1−2a)ζ(2σ,a)] が成り立つ。
• a = 1 の場合、この結果は ∫ |ζ(s)/s|² dt = (π/σ)[2ζ(2σ−1) − ζ(2σ)] に簡略化され、付録で二通りの独立した方法により検証されている。
• ∫ |ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt = 2π(ln(2π) − γ) は、γ がオイラー＝マセルローニ定数である特別な場合として確立されている。
• 交代的ハイゼットゼータ関数に関しては、∫ |ζₐ(s,a)/s|² dt = (π/σ)ζₐ(2σ,a) が成り立ち、これはイヴィッチ（2009）の定理1を回復する。
• 系5では、∫ |ζₐ(1/2+it,1/2)/(1/2+it)|² dt = π² が得られ、a = 1/2 の場合の閉形式の結果が得られる。
• φ(x) が特性関数および分数部分を含む二重積分であるとき、lim_{s→0} s² ∫₁^∞ φ(x)/x^{s+1} dx = 1/4 という予想が提示される。