[論文レビュー] Evaluations of Derivatives of Jacobi Theta Functions in the origin

Nikos Bagis|arXiv (Cornell University)|May 28, 2011

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ひとこと要約

本稿では、ラマヌジャンのエーゼンスタイン級数 $ P $, $ Q $, $ R $ を用いて、ヤコビシータ関数 $ \vartheta_1(z) $ の奇数階微分および $ \vartheta_4(z) $ の偶数階微分を原点で閉形式で評価する手法を提示する。ラマヌジャンの恒等式とファーディ・ブルーノの公式を活用することで、$ P $, $ Q $, $ R $ 及びそれらの $ q $-シフト版を含む多項式表現が得られ、モジュラー形式およびデデキンドエータ関数を用いて $ \vartheta_1^{(2\nu+1)}(0) $ および $ \vartheta_4^{(2\nu)}(0) $ の正確な計算が可能になる。

ABSTRACT

In this article using Ramanujan's theory of Eisenstein series we evaluate completely the derivatives of the theta functions $\vartheta_1^{(2ν+1)}(z)$ and $\vartheta_4^{(2ν)}(z)$ in the origin in closed polynomials forms using only the first three Eisenstein series of weights 2,4, and 6.

研究の動機と目的

• 原点 $ z=0 $ における $ \vartheta_1(z) $ の $ (2\nu+1) $ 階微分について、エーゼンスタイン級数 $ P $, $ Q $, $ R $ のみを用いた閉形式の多項式表現を導出すること。
• ファーディ・ブルーノの公式とモジュラー形式に基づく再帰的アプローチを用いて、$ \vartheta_4(z) $ の $ 2\nu $ 階微分を計算する方法を拡張すること。
• $ S_3(2\nu+1) = \eta^3(\tau) \sum b_{ijk} P^i Q^j R^k $ の展開における係数 $ b_{ijk} $ を体系的に評価する方法を提供し、高階微分の明示的計算を可能にすること。
• エーゼンスタイン級数およびシータ関数微分に関するラマヌジャンの結果を統一的かつ一般化した、モジュラー形式のための整合的な計算フレームワークを構築すること。

提案手法

• エーゼンスタイン級数 $ P = E_2 $, $ Q = E_4 $, $ R = E_6 $ のラマヌジャン理論と、それらの生成関数 $ \Phi_{2\nu+1}(q) $ を用いる。$ \Phi_{2\nu+1}(q) $ は $ Q $ および $ R $ の多項式として表現される。
• 恒等式 $ \vartheta_1^{(2\nu+1)}(0) = 2(-1)^\nu S_3(2\nu+1) $ を適用し、$ S_3(2\nu+1) $ を奇数整数上のシータ級数とみなすことにより、微分の評価を係数計算に還元する。
• ファーディ・ブルーノの公式を用いて、$ \log \vartheta_4(z) $ の $ 2\nu $ 階微分をベル多項式および $ \vartheta_4(z) $ の低階微分の形式で表現し、再帰的評価を可能にする。
• $ \frac{\vartheta_4'(z)}{\vartheta_4(z)} = 4\sum_{n=1}^\infty \frac{q^n \sin(2nz)}{1 - q^{2n}} $ の関係を用いて、$ \vartheta_4^{(2\nu)}(0) $ の微分方程式を導出し、$ \Phi_{2\nu-1}(q) $ およびエーゼンスタイン級数と関連付ける。
• ラマヌジャンの $ S_{1,2n} $ に関する再帰式を適用し、$ \vartheta_1 $ の微分計算に必要な $ \Phi_{2\nu+1}(q) $ を評価する。
• $ E_{2\nu}(\tau) $ および $ E_{2\nu}(2\tau) $ を用いた $ \vartheta_4^{(2\nu)}(0) $ の再帰式を導出し、係数を $ P(q), Q(q), R(q), P(q^2), Q(q^2), R(q^2) $ の有理関数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点 $ z=0 $ における $ \vartheta_1(z) $ の $ (2\nu+1) $ 階微分は、$ P $, $ Q $, $ R $ およびデデキンドエータ関数の多項式として表現可能か？
• RQ2 ラマヌジャンのエーゼンスタイン級数の恒等式をどのように用いて、$ \vartheta_1^{(2\nu+1)}(0) $ の評価に不可欠な $ \Phi_{2\nu+1}(q) $ を再帰的に計算できるか？
• RQ3 $ \vartheta_4^{(2\nu)}(0) $ の $ 2\nu $ 階微分が $ P(q), Q(q), R(q), P(q^2), Q(q^2), R(q^2) $ の関数として表現可能であるような再帰的関係の構造は何か？
• RQ4 $ \vartheta_1^{(2\nu+1)}(0) $ および $ \vartheta_4^{(2\nu)}(0) $ の多項式展開における係数は、モジュラー形式 $ P, Q, R $ 及びそれらの $ q $-シフト版にどのように依存するか？
• RQ5 数値近似を用いずに、モジュラー形式の代数的組み合わせのみを用いて $ \vartheta_1^{(2\nu+1)}(0) $ および $ \vartheta_4^{(2\nu)}(0) $ を一般に計算する方法は存在するか？

主な発見

• $ \vartheta_1(z) $ の $ 9 $ 階微分は、$ \frac{1}{2}\vartheta_1^{(9)}(0) = \eta^3(\tau) \cdot \frac{1}{9}(35P^4 - 84P^2Q - 12Q^2 + 64PR) $ と与えられ、$ P $, $ Q $, $ R $ の有理関数としての係数を持つ。
• $ \vartheta_1^{(11)}(0) $ は $ -\frac{1}{2}\vartheta_1^{(11)}(0) = \eta^3(\tau) \cdot \frac{1}{9}(385P^5 - 1540P^3Q - 660PQ^2 + 1760P^2R + 64QR) $ を満たし、$ P $, $ Q $, $ R $ における多項式構造が確認される。
• $ \vartheta_4(z) $ の $ 2 $ 階微分は $ \vartheta_4^{(2)}(0) = \frac{1}{3}(P_1 - P)w $ で与えられ、$ w = \sqrt{\frac{2}{\pi}(1-x)K} $、$ P_1 = P(q^2) $ である。
• $ \vartheta_4^{(4)}(0) = \frac{1}{15}(5(P - P_1)^2 - 2Q + 2Q_1)w $ であり、$ q $ および $ q^2 $-級数の両方に依存していることが示される。
• $ \vartheta_4^{(6)}(0) = \frac{1}{63}(-35P^3 + 105P^2P_1 - 105PP_1^2 + 35P_1^3 + 42PQ - 42P_1Q - 42PQ_1 + 42P_1Q_1 - 16R + 16R_1)w $ であり、高次の多項式依存性が明確に示される。
• $ \vartheta_4^{(8)}(0) $ は $ P, P_1, Q, Q_1, R, R_1 $ の四次多項式として表現され、有理係数を有する。これは一般形 $ \vartheta_4^{(2\nu)}(0) = w \sum c_{ijklmn} P^i Q^j R^k P_1^l Q_1^m R_1^n $ を確認する。