[論文レビュー] Evanescent modes in Sonic Crystals: Complex relation dispersion and supercell approximation

Vicente Romero‐García, J. V. Sánchez-Pérez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2010

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元音響結晶（SCs）における複素数の波数 $k(\omega)$ を解くために平面波展開（PWE）法を拡張し、伝搬モードおよび減衰モードの両方の解析を可能にした。スーパセル近似と明示的な行列式を用いて、バンドギャップ内での減衰モードの指数的減衰を実験的に確認した。測定された $Im(k) = -5.60 \pm 1.45\ \text{m}^{-1}$ は、誤差範囲内で解析的予測と一致した。

ABSTRACT

Evanescent modes in complete sonic crystals (SC) and SC with point defects are reported both theoretically and experimentally in this paper. Plane wave expansion (PWE) and, in general, $ω(k)$ methods have been used to calculate band structures showing gaps that have been interpreted as ranges of frequencies where no real $k$ exists. In this work, we extend PWE to solve the complex $k(ω)$ problem applied to SC, introducing the supercell approximation for studying one vacancy. Explicit matrix formulation of the equations is given. This $k(ω)$ method enables the calculation of complex band structures, as well as enabling an analysis of the propagating modes related with real values of the function $k(ω)$, and the evanescent modes related with imaginary values of $k(ω)$. This paper shows theoretical results and experimental evidences of the evanescent behavior of modes inside the SC band gap. Experimental data and numerical results using the finite elements method are in very good agreement with the predictions obtained using the $k(ω)$ method.

研究の動機と目的

• 従来の $\omega(\vec{k})$ バンド構造法では検出されない音響結晶（SCs）における減衰モードを分析すること。
• 平面波展開（PWE）法を逆問題 $k(\omega)$ を解けるように拡張し、複素数波数の計算を可能にすること。
• 点欠陥を有するSCsのモデリングと局在化した減衰モードの解析を可能にするために、スーパセル近似を考案・適用すること。
• 3次元ロボット化音響測定システム（3DReAMS）を用いて、バンドギャップ内での減衰モードの指数的減衰を実験的に検証すること。
• 複素数波数の挙動に関して、解析的・数値的（FEM）・実験的結果を統一的かつ一貫した枠組みで結びつけること。

提案手法

• PWEを拡張し、2次元音響結晶における複素数波数の固有値問題 $k(\omega)$ を解く。
• 拡張PWE（EPWE）の明示的行列式を導出し、実部および虚部を含む $k(\omega)$ を解けるようにした。
• スーパセル近似を用いて周期的SCにおける1つのバケーション欠陥をモデル化し、局在モードの解析を可能にした。
• 有限要素法（FEM）を用いて散乱問題を解き、平面波入射時のSC内における圧力場を計算した。
• 3次元ロボット化音響測定システム（3DReAMS）を用いて、SC内の円柱の列間における圧力場を実験的にマッピングした。
• 実験的圧力減衰データを指数関数 $ae^{bx}$ にフィットさせ、波数の虚部 $Im(k)$ を抽出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張PWE法は、2次元音響結晶における減衰モードの複素数波数 $k(\omega)$ を正確に予測できるか？
• RQ2 スーパセル近似は、点欠陥を有するSCsにおける局在モードをどの程度正確にモデル化できるか？
• RQ3 バンドギャップ内での減衰モードの指数的減衰は、実験的に測定可能であり、解析的予測と定量的に整合するか？
• RQ4 波数の第1調波が減衰挙動を支配しているか、それとも高次調波が有意義な寄与をしているか？
• RQ5 FEMシミュレーションは、有限SCにおける実験的圧力場減衰をどの程度正確に再現できるか？

主な発見

• 拡張PWE（EPWE）は、2次元音響結晶における複素バンド構造を、伝搬モードおよび減衰モードを含めて成功裏に予測した。
• 920 Hzにおける減衰モードの波数虚部は、解析的に $Im(k) = -5.6\ \text{m}^{-1}$ と予測された。
• 3DReAMSを用いた実験的測定により $Im(k) = -5.60 \pm 1.45\ \text{m}^{-1}$ が得られ、解析的予測と良好に一致した。
• SC内部の圧力場減衰は単一の指数関数的挙動を示し、減衰において第1調波が支配的であることを確認した。
• FEMシミュレーションは、実験的圧力減衰プロファイルを高い精度で再現し、数値モデルの妥当性を裏付けた。
• 点欠陥を有する系では、完全なSCでは純粋に虚数の $k$（減衰モード）であった局在モードが、欠陥がある場合には純粋に実数の $k$（伝搬モード）に変化し、既存の文献と整合した。