[論文レビュー] Even and odd instanton bundles on Fano threefolds of Picard number 1

Daniele Faenzi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Picard数1のFano三様多様体上における偶数および奇数のインスタントン bundle を導入し、$√{3}$ における古典的定義を一般化する。モノイドと幾何的不変理論を用いて、そのモジュライ空間の良好な可約成分を構成し、中間ヤコビアンが自明な場合の滑らかさと有理型を証明する。また、$√{5}$ 内の2つの二次曲面の交わり上のインスタントン bundle と、関連する genus 2 曲線上のベクトル bundle の関係を示す。

ABSTRACT

We consider an analogue of the notion of instanton bundle on the projective 3-space, consisting of a class of rank-2 vector bundles defined on smooth Fano threefolds X of Picard number one, having even or odd determinant according to the parity of K_X. We first construct a well-behaved irreducible component of their moduli spaces. Then, when the intermediate Jacobian of X is trivial, we look at the associated monads, hyperdeterminants and nets of quadrics. We also study one case where the intermediate Jacobian of X is non-trivial, namely when X is the intersection of two quadrics in P5, relating instanton bundles on X to vector bundles of higher rank on a the curve of genus 2 naturally associated with X.

研究の動機と目的

• Fano三様多様体のPicard数1で任意のインデックスを有するものに対して、$√{3}$ におけるインスタントン bundle の概念を拡張すること。
• このような三様多様体上の $k$-インスタントンのモジュライ空間の良好な可約成分を構成すること。
• 中間ヤコビアンが自明な場合のこれらのモジュライ空間の幾何を、モノイドとハイパードテルミナントを用いて分析すること。
• $√{5}$ 内の2つの二次曲面の交わり上のインスタントン bundle と、関連する genus 2 曲線上のベクトル bundle の関係を明らかにすること。
• 群作用によるモノイドデータの幾何的商としてのモジュライ空間の記述を確立すること。

提案手法

• Fano三様多様体上の $k$-インスタントン bundle を、安定なランク2 bundle として定義し、$F \simeq F^* \otimes \omega_X$ および $H^1(X,F) = 0$ を満たし、$c_1 = 0$ または $-1$ となるようにねじる。
• 導来カテゴリ−に完全な強く例外的なコレクションの存在を用い、ベクトル空間 $I$、$W$、および $U = \operatorname{Hom}_X(\mathscr{E}_2, \mathscr{E}_3)$ からモノイドを構成する。
• 写像の対 $(A,B)$ で $A \circ B = 0$ を満たし、$A$ が全射かつ $B$ が単射であるような集合 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$ を定義する。
• 群 $\hat{G}_k = \operatorname{GL}(I) \times \operatorname{GL}(W) \times \operatorname{GL}(J)$ を $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$ に作用させ、幾何的不変理論を用いてインスタントン bundle をパラメトライズする。
• $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ / \hat{G}_k$ がモジュライ関手を表すモジュライ空間 $\operatorname{MI}_X(k)$ に同型であることを示す。
• $\mathscr{Q}_{X,k}^\circ \hookrightarrow \hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$ を閉埋め込み $\Phi$ として定義し、$\operatorname{MI}_X(k)$ が $\mathscr{Q}_{X,k}^\circ$ を部分群 $G_k \subset \hat{G}_k$ で割った商として同定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Picard数1のFano三様多様体 $X$ 上の $k$-インスタントンのモジュライ空間 $\operatorname{MI}_X(k)$ が滑らかで可約な成分を有する条件は何か？
• RQ2 中間ヤコビアンが自明な場合、インスタントン bundle のモジュライ空間をどのように幾何的に構成できるか？
• RQ3 $\u221a{5}$ 内の2つの二次曲面の交わり上のインスタントン bundle と、関連する genus 2 曲線上のベクトル bundle の関係は何か？
• RQ4 モジュライ空間 $\operatorname{MI}_X(k)$ の次元はインデックス $i_X$ とインスタントン荷電 $k$ にどのように依存するか？
• RQ5 インスタントン bundle のモジュライ空間を、再帰的群作用によるモノイドデータの多様体の幾何的商として実現できるか？

主な発見

• モジュライ空間 $\operatorname{MI}_X(k)$ は、次元 $\delta$ の一般に滑らかな可約成分を有し、$\delta = 8k-3$（$i_X=4$ 時）、$6k-6$（$i_X=3$ 時）、$4k-3$（$i_X=2$ 時）、$2k - g_X - 2$（$i_X=1$ 時）であり、非空性の条件が指定されている。
• 中間ヤコビアンが自明なFano三様多様体（すなわち、$√{3}$、二次曲面三様多様体、$\mathrm{Gr}(2,5)$ の線形切断、および genus 12 のプライムFano三様多様体）では、モジュライ空間 $\operatorname{MI}_X(k)$ が幾何的商 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ / \hat{G}_k$ に同型であり、滑らかで有理型である。
• 構成は、$D^b(X)$ 内の完全な強く例外的コレクションから得られるモノイドを用い、$I$、$W$、$U$ の次元は $i_X$ と $k$ に依存し、$k$ が閾値を超えると非空となることが保証される。
• $X$ が $√{5}$ 内の2つの二次曲面の交わりであるとき、本稿はモノイドデータを介して、$X$ 上のインスタントン bundle と、関連する genus 2 曲線上の高ランクベクトル bundle の関係を示す。
• $\hat{G}_k$ の $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$ への作用は適切であり、商は幾何的であるため、$\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ / \hat{G}_k$ がインスタントン bundle のモジュライ関手を表すことが確認された。
• $\Phi$ を通じた明示的埋め込みと軌道同値性により、モジュライ空間 $\operatorname{MI}_X(k)$ は $\mathscr{Q}_{X,k}^\circ / G_k$ に同定される。