[論文レビュー] Even dimensional homogeneous Finsler spaces with positive flag curvature

Ming Xu, Shaoqiang Deng+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、フラッグ曲率が正である偶数次元一様Finsler空間を分類するために、Finsler的準同型写像技術を用い、フラッグ曲率の公式を導出する。その結果、このような空間はすべて、正の部分空間曲率を持つ $G$-不変リーマン計量を有することが示され、その完全なリストはウォーラッハの偶数次元コンパクトランク1対称空間の分類と特定の例外ケースと一致する。いくつかのケースでは非リーマン的Finsler計量が存在する。

ABSTRACT

In this paper, we use the technique of Finslerian submersion to deduce a flag curvature formula for homogeneous Finsler spaces. Based on this formula, we give a complete classification of even-dimensional smooth coset spaces $G/H$ admitting $G$-invariant Finsler metrics with positive flag curvature. It turns out that the classification list coincides with that of the even dimensional homogeneous Riemannian manifolds with positive sectional curvature obtained by N.R. Wallach. We also find out all the coset spaces admitting invariant non-Riemannian Finsler metrics with positive flag curvature.

研究の動機と目的

• フラッグ曲率が正である $G$-不変Finsler計量を有するすべての偶数次元滑らかで一様なコセット空間 $G/H$ を分類すること。
• このようなFinsler計量が、正のフラッグ曲率を保ちながらも、必ずしもリーマン的である必要があるかどうかを特定すること。
• Finsler幾何におけるフラッグ曲率の正の性質と、古典的な正曲率一様リーマン多様体の分類との間の関係を確立すること。
• 代数的および幾何的技法を用いて、正曲率一様Finsler空間の分類を偶数次元の場合に拡張すること。
• 特定のコセット空間上に、正のフラッグ曲率を有する非リーマン的Finsler計量の明示的構成を提供すること。

提案手法

• Finsler的準同型写像技術を用いて、一様Finsler空間のフラッグ曲率の公式を導出する。
• 導出されたフラッグ曲率の公式を応用し、幾何的問題を代数的分類問題に還元する。
• 同相表現の推移性と接空間 $\mathfrak{m}$ の $\mathrm{Ad}(H)$-不変部分空間への分解を用いて、曲率の挙動を分析する。
• 一価パラメータ族として、リーマン内積の摂動により非リーマン的Finsler計量を構成する。たとえば $F_\varepsilon = \sqrt{\alpha_1 + \alpha_2 + \varepsilon \sqrt{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}}$ のようにし、$\varepsilon > 0$ が十分小さいときフラッグ曲率が正であることを示す。
• ウォーラッハの偶数次元コンパクトランク1対称空間および例外的ペアの分類を活用し、すべての候補を同定する。
• フラッグ曲率がFinsler計量に関して連続であることを応用し、正曲率リーマン計量の小さな摂動が、非リーマン的Finsler計量に正のフラッグ曲率を与えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの偶数次元一様コセット空間 $G/H$ が、$G$-不変Finsler計量を有し、正のフラッグ曲率を持つのか。
• RQ2 このようなFinsler計量は、すべてリーマン的である必要があるのか、それとも非リーマン的計量でも正のフラッグ曲率を達成できるのか。
• RQ3 正曲率一様Finsler空間の分類は、古典的な正曲率一様リーマン多様体の分類とどの程度一致するのか。
• RQ4 既知の対称空間および例外的コセット空間上に、正のフラッグ曲率を有する非リーマン的Finsler計量の明示的構成が可能か。
• RQ5 同相表現および接空間 $\mathfrak{m}$ の分解が、Finsler設定における正のフラッグ曲率を保証するための条件は何か。

主な発見

• フラッグ曲率が正である偶数次元一様Finsler空間は、すべて、正の部分空間曲率を持つ $G$-不変リーマン計量を有する必要がある。
• フラッグ曲率が正である偶数次元一様Finsler空間の完全なリストは、ウォーラッハの偶数次元コンパクトランク1対称空間の分類および特定の例外的ペアと完全に一致する。
• $\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{Sp}(n-1)\mathrm{U}(1)$ のコセット空間では、$(\alpha_1, \alpha_2)$-計量として構成される、リーマン的および非リーマン的両方のFinsler計量が正のフラッグ曲率を持つ。
• $\mathrm{SU}(3)/T^2$ および $\mathrm{Sp}(3)/\mathrm{Sp}(1)^3$ では、$F_\varepsilon = \sqrt{t_1\alpha_1^2 + t_2\alpha_2^2 + t_3\alpha_3^2 + \varepsilon\sqrt{\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2}}$ を用いたリーマン計量の摂動により、非リーマン的Finsler計量が正のフラッグ曲率を持つことが示される。
• $\mathrm{G}_2/\mathrm{SU}(3) \cong S^6$ では、すべての $G$-不変Finsler計量で正のフラッグ曲率を有するものは、必然的にリーマン的であり、定数正の部分空間曲率を持つ。
• 分類は局所等長変換に関して安定である：任意の偶数次元正曲率一様Finsler空間は、グローバルな被覆や中心構造に関係なく、定理1.3にリストされた空間のいずれかと局所等長である。