[論文レビュー] Even ordinals and the Kunen inconsistency

Gabriel Goldberg|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、選択公理を含まないZF集合論におけるクーネンの不一致を超えた大基数の構造を調査し、偶数順序数とランク-イン-ランク埋め込みに焦点を当てる。偶数と奇数のランクの間で定義可能性の性質に周期的交替が生じることを示し、$V_{\lambda+3}$ 上の初等埋め込みがZFC + $I_0$ の整合性を示すこと、および $V_{\lambda+2}$ 上のこのような埋め込みの存在が $L(V_{\lambda+2})$ 内の埋め込みと同値整合的であること、選択公理のない大基数理論およびケトンン順序の発展に寄与する。

ABSTRACT

This paper contributes to the theory of large cardinals beyond the Kunen inconsistency, or choiceless large cardinal axioms, in the context where the Axiom of Choice is not assumed. The first part of the paper investigates a periodicity phenomenon: assuming choiceless large cardinal axioms, the properties of the cumulative hierarchy turn out to alternate between even and odd ranks. The second part of the paper explores the structure of ultrafilters under choiceless large cardinal axioms, exploiting the fact that these axioms imply a weak form of the author's Ultrapower Axiom. The third and final part of the paper examines the consistency strength of choiceless large cardinals, including a proof that assuming DC, the existence of an elementary embedding from $V_{λ+3}$ to $V_{λ+3}$ implies the consistency of ZFC + $I_0$. By a recent result of Schlutzenberg, an elementary embedding from $V_{λ+2}$ to $V_{λ+2}$ does not suffice.

研究の動機と目的

• 選択公理のない大基数理論を、特に $n \geq 2$ における埋め込み $j:V_{\lambda+n} \to V_{\lambda+n}$ を対象に、クーネンの不一致を超えて発展させること。
• 選択公理のない大基数公理の下で累積階層における偶数ランクと奇数ランクの間で定義可能性の性質に周期的交替が生じることを調査すること。
• $V_{\lambda+2}$ 上の埋め込みと内モデル $L(V_{\lambda+2})$ 内の埋め込みの間の同値整合的関係を確立すること。
• 選択公理の下で、初等埋め込み $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ の存在がZFC + $I_0$ の整合性を示すことの証明。
• 選択の欠如下で、超フィルターの構造とケトンン順序を分析し、DCのもとでその整礎性と非反射性を証明すること。

提案手法

• 偶数順序数と奇数順序数の概念を導入し、$\lambda$ を極限順序数とし $n \in \omega$ とすると $\alpha = \lambda + 2n$ と定義することで、定義可能性における周期性を研究する。
• 選択公理のない大基数公理の下で、弱い形の超冪公理を適用して超フィルター構造を分析する。
• フィルター還元と比較を用いてケトンン順序を点付きフィルターへ一般化し、その整礎性を分析する。
• $\sigma$-写像とその導出されるフィルター列を用いて還元と比較を特徴付け、ケトンン順序と関連付ける。
• 関数がほとんど everywhere で順序数を支配するという原則に基づき、$j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ が $V_{\lambda+1}$ の任意の部分集合がシャープを持つことを示し、整合性の強度に関する結果を得る。
• 超フィルター上の内部関係 $\sqsubset$ を用い、関数がほとんど everywhere で順序数を支配するという矛盾による証明により、その非反射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 選択公理のない大基数公理の下で、累積階層における偶数ランクと奇数ランクにおける初等埋め込みの定義可能性にどのような周期的パターンが現れるか？
• RQ2 初等埋め込みが存在する場合、$V_{\lambda+2}$ と $V_{\lambda+3}$ の構造的性質はどのように異なるのか。また、それらの整合性の強度は何か？
• RQ3 初等埋め込み $j:V_{\lambda+2} \to V_{\lambda+2}$ の存在が、$\lambda$ より小さい臨界点を持つ $L(V_{\lambda+2})$ 内の埋め込みと同値整合的か？
• RQ4 選択公理の下で、初等埋め込み $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ の存在が、ZFC + $I_0$ の整合性を示すか？
• RQ5 ZF + DC において、フィルターおよび超フィルター上のケトンン順序が整礎的かつ非反射的であることを証明できるか？

主な発見

• 偶数順序数 $\epsilon$ に対して、$V_\epsilon$ から $V_\epsilon$ への非自明な初等埋め込みは $V_\epsilon$ 上で定義可能ではない。
• 偶数順序数 $\epsilon$ に対して、$V_{\epsilon+1}$ から $V_{\epsilon+1}$ へのすべての初等埋め込みは $V_{\epsilon+1}$ 上で定義可能である。
• DCを仮定すると、初等埋め込み $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ の存在は、ZFC + $I_0$ の整合性を示す。
• $V_{\lambda+2}$ 上の初等埋め込みの存在は、$L(V_{\lambda+2})$ 内で臨界点が $\lambda$ より小さい初等埋め込みの存在と同値整合的である。
• DCのもとで、フィルター上のケトンン順序は整礎的であり、可算完全な超フィルター上での内部関係 $\sqsubset$ は非反射的である。
• 任意の臨界点を持つ超フィルター $U$ に対して $U \not\sqsubset U$ が成り立ち、内部関係の非反射性が証明される。