[論文レビュー] Eventum Mechanics of Quantum Trajectories: Continual Measurements, Quantum Predictions and Feedback Control

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Feb 23, 2007

Quantum Information and Cryptography参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、継続的測定を扱う量子確率的枠組みであるEventum Mechanicsを構築し、拡散的およびカウント測定のための量子フィルタリング方程式を導出する。量子ベルマン方程式を用いて最適フィードバック制御を確立し、線形二次ガウス（LQG）の場合に量子フィルタリングと古典的制御のミクロ双対性を示す。これにより、量子フィードバック制御が古典的確率的制御問題に還元可能であることが明らかになる。

ABSTRACT

Quantum mechanical systems exhibit an inherently probabilistic nature upon measurement which excludes in principle the singular direct observability continual case. Quantum theory of time continuous measurements and quantum prediction theory, developed by the author on the basis of an independent-increment model for quantum noise and nondemolition causality principle in the 80's, solves this problem allowing continual quantum predictions and reducing many quantum information problems like problems of quantum feedback control to the classical stochastic ones. Using explicit indirect observation models for diffusive and counting measurements we derive quantum filtering (prediction) equations to describe the stochastic evolution of the open quantum system under the continuous partial observation. Working in parallel with classical indeterministic control theory, we show the Markov Bellman equations for optimal feedback control of the a posteriori stochastic quantum states conditioned upon these two kinds of measurements. The resulting filtering and Bellman equation for the diffusive observation is then applied to the explicitly solvable quantum linear-quadratic-Gaussian (LQG) problem which emphasizes many similarities and differences with the corresponding classical nonlinear filtering and control problems and demonstrates microduality between quantum filtering and classical control.

研究の動機と目的

• 量子不確定性のため直接観測が不可能である継続的量子測定と予測の根本的課題に取り組む。
• 非破壊因果性と独立増分量子ノイズに基づく、継続的観測のための量子確率的理論を構築する。
• 連続的部分観測下での開放量子系の確率的時間発展を記述する、拡散的およびカウント型の量子フィルタリング方程式を導出する。
• 拡散的およびカウント測定に基づく、事後量子状態に条件づけられた最適フィードバック制御のための量子ベルマン方程式を定式化する。
• 量子線形二次ガウス（LQG）問題を明示的に解くことにより、量子フィルタリングと古典的制御の間のミクロ双対性を示す。

提案手法

• 量子ノイズの独立増分モデルと非破壊因果性の原則を用いて、継続的測定をモデル化する。
• 連続的観測下での開放量子系の量子フィルタリング方程式として、拡散的ベラキン方程式およびカウント型ベラキン方程式を導出する。
• 量子確率的微積分（QS微積分）と関数的非可換イトの公式を用いて、一般の量子確率的マスター方程式を導出する。
• QSの生成子（germs）と擬ユニタリ性の概念を導入し、量子確率的時間発展を特徴づけ、完全正則性と正規化を保証する。
• 量子フィルタリングと古典的動的計画法の原則を組み合わせることで、最適フィードバック制御のための量子ベルマン方程式を導出する。
• 量子LQG問題を明示的に解き、ミクロ双対性の下で、古典的非線形フィルタリングおよび制御と同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果性を保ちつつ、量子状態のリアルタイム予測を可能にする継続的量子測定のモデル化はどのように可能か？
• RQ2 連続的な拡散的およびカウント測定下での量子系の確率的時間発展を記述する量子フィルタリング方程式は何か？
• RQ3 継続的測定からの事後状態推定を用いた量子領域における最適フィードバック制御は、どのように定式化できるか？
• RQ4 線形二次ガウス（LQG）設定において、量子フィルタリングと古典的制御の関係は何か？
• RQ5 LQGの場合に、量子フィルタリングと古典的制御の間でミクロ双対性がどのように現れるか？

主な発見

• 拡散的ベラキン方程式およびカウント型ベラキン方程式が、連続的部分観測下での開放量子系の確率的時間発展を記述する量子フィルタリング方程式として導出された。
• 拡散的観測のための量子ベルマン方程式が導出され、線形二次ガウス（LQG）問題に適用された。最適フィードバック制御が古典的確率的制御問題に還元されることが示された。
• 量子LQG問題は古典的制御とミクロ双対性を示し、量子フィルタリングダイナミクスが古典的非線形フィルタリングを模倣し、制御問題が古典的動的計画法問題に還元される。
• 関数的非可換イトの公式を用いて、一般の量子確率的マスター方程式が導出された。生成子はQS生成子（germs）で表現され、正規化および完全正則性を満たす。
• 一般QS時間発展方程式における弱正規化条件 $ L + L^* + abla_i L_i L_i^* = 0 $ が、正規化および完全正則性を保つことが示された。
• 量子フィードバック制御の厳密な枠組みが確立された。これは、問題を量子フィルタリング（状態推定）と古典的最適制御（行動選択）に分離することで可能となり、量子エラー訂正や状態準備への実用的応用を可能にする。