[論文レビュー] Every free basic convex semi-algebraic set has an LMI representation

J. William Helton, Scott McCullough|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2009

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ひとこと要約

この論文は、対称行列値多項式によって定義される有界で凸的かつ自由な基本的開半代数的集合が、線形行列不等式（LMI）の解集合として表現可能であることを証明し、非可換設定における行列凸性とLMI表現可能性の間の根本的な同等性を確立する。主な貢献は、標準的なLMI特徴付けの逆を示したことである。有界性および定数項の可逆性の条件下で、凸性そのものがLMI表現可能性を示唆することを示している。

ABSTRACT

The (matricial) solution set of a Linear Matrix Inequality (LMI) is a convex basic non-commutative semi-algebraic set. The main theorem of this paper is a converse, a result which has implications for both semidefinite programming and systems engineering. For p(x) a non-commutative polynomial in free variables x= (x1, ... xg) we can substitute a tuple of symmetric matrices X= (X1, ... Xg) for x and obtain a matrix p(X). Assume p is symmetric with p(0) invertible, let Ip denote the set {X: p(X) is an invertible matrix}, and let Dp denote the component of Ip containing 0. THEOREM: If the set Dp is uniformly bounded independent of the size of the matrix tuples, then Dp has an LMI representation if and only if it is convex. Linear engineering systems problems are called "dimension free" if they can be stated purely in terms of a signal flow diagram with L2 performance measures, e.g., H-infinity control. Conjecture: A dimension free problem can be made convex if and only it can be made into an LMI. The theorem here settles the core case affirmatively.

研究の動機と目的

• 標準的な事実であるLMI解集合が凸的で自由な基本的半代数的集合であるという事実の逆を確立すること。
• すべての凸的で有界な自由な基本的開半代数的集合がLMI表現を有するかどうかを特定すること。
• 非可換（自由）多項式設定における行列凸性とLMI表現可能性の関係を明確にすること。
• 自由な実代数的幾何学および半定値計画法における影響を調査すること、特に射影性および表現可能性クラスに関するもの。

提案手法

• 対称行列値自由多項式 $ p(X) $ の可逆性集合として自由な基本的開半代数的集合を定義する。ここで $ X $ は対称行列のタプルである。
• 行列的Hahn-Banach分離定理（Effros-Winkler）を用いて、単位的アフィン線形行列多項式を用いて点と行列凸集合を分離する。
• 対称自由多項式 $ p $ に対して、$ p(0) $ が可逆で、$ \mathcal{D}_p $ が有界かつ凸的であるとき、$ \mathcal{D}_p = \mathcal{D}_L $ を満たす単位的アフィン線形 $ L $ が存在することを確立する。
• 自由多項式の構造およびそれらが行列のタプルに評価される方法を用いて、すべての行列次元における凸性および可逆性集合を分析する。
• 自由解析および作用素空間論の結果を応用し、非可換設定における代数的構造と凸幾何学の間のギャップを埋める。
• 一部の状況では既約性の仮定を用いて、このような多項式が必ず次数2であることを示し、LMI表現の最小性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有界で凸的かつ自由な基本的開半代数的集合が、線形行列不等式（LMI）の解集合として表現可能か？
• RQ2 対称自由多項式 $ p $ に対して、その可逆性集合 $ \mathcal{D}_p $ がLMI表現可能であるための条件は何か？
• RQ3 自由非可換設定では、LMI表現可能性および凸性において、古典的可換ケースとはどのように異なるか？
• RQ4 LMI集合の射影として得られる自由半代数的集合のクラスは、自由設定におけるLMI表現可能集合のクラスと等しいか？
• RQ5 可逆性集合が有界かつ凸的であるような自由多項式に対して、どのような構造的制約（例：次数）が生じるか？

主な発見

• 定数項 $ p(0) $ が可逆である対称自由多項式 $ p $ によって定義される有界で凸的かつ自由な基本的開半代数的集合は、線形行列不等式（LMI）の解集合として表現可能である。
• 主な結果として、$ \mathcal{D}_p $ が有界で $ p(0) $ が可逆であるとき、$ \mathcal{D}_p $ の凸性がLMI表現可能性の必要十分条件であることが確立された。
• 古典的可換ケースとは異なり、自由設定では「直線テスト」のような追加条件が不要である。凸性そのものがLMI表現可能性を示唆する。
• 既約な自由多項式 $ p $ に対して、$ \mathcal{D}_p $ が有界かつ凸的であれば、$ p $ は必ず次数2である。
• LMI集合の射影として得られる自由半代数的集合のクラスは、自由設定におけるLMI表現可能集合のクラスと一致する。これは古典的ケースとは著しく対照的である。
• この結果は、信号フローダイアグラムによって支配される次元不変のシステム問題において、すべての凸性条件がLMIによって捉えられることを示唆しており、この文脈ではLMI表現を超える凸性は存在しないことを示している。