[論文レビュー] Every function is the representation function of an additive basis for the integers

Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2003

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 6被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、有限個の零点を持つ任意の関数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ に対して、すべての $ n \in \mathbb{Z} $ およびすべての $ h \geq 2 $ に対して $ f(n) = r_{A,h}(n) $ を満たす加法的基底 $ A \subseteq \mathbb{Z} $ が存在することを証明している。構成法により、$ A $ を任意に疎らにできることが保証され、整数における加法的数論における表現関数に関する長年の未解決問題が解決された。

ABSTRACT

Let A be a set of integers. For every integer n, let r_{A,h}(n) denote the number of representations of n in the form n = a_1 + a_2 + ... + a_h, where a_1, a_2,...,a_h are in A and a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_h. The function r_{A,h}: Z o N_0 \cup \infty is the representation function of order h for A. The set A is called an asymptotic basis of order h if r_{A,h}^{-1}(0) is finite, that is, if every integer with at most a finite number of exceptions can be represented as the sum of exactly h not necessarily distinct elements of A. It is proved that every function is a representation function, that is, if f: Z o N_0 \cup \infty is any function such that f^{-1}(0) is finite, then there exists a set A of integers such that f(n) = r_{A,h}(n) for all n in Z. Moreover, the set A can be arbitrarily sparse in the sense that, if ϕ(x) o \infty, then there exists a set A with f(n) = r_{A,h}(n) such that card{a in A : |a| \leq x} < ϕ(x) for all sufficiently large x.

研究の動機と目的

• 整数上での関数 $ \mathbb{Z} $ がどの程度加法的基底 $ A $ の表現関数 $ r_{A,h} $ として現れるかを特定すること。
• 関数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ で $ f^{-1}(0) $ が有限であるようなものについて、ある集合 $ A \subseteq \mathbb{Z} $ に対して $ r_{A,h} $ として実現可能かどうかを解明すること。
• このような基底 $ A $ が任意に疎らに構成可能であることを示すこと、すなわち密度関数 $ \varphi(x) \to \infty $ を満たす任意の関数について $ \text{card}(\{a \in A : |a| \leq x\}) < \varphi(x) $ となるようにできること。
• 整数上での表現関数の振る舞いと、未解決の一意性・有界性予想が残る $ \mathbb{N}_0 $ 上のはるかに制限された状況との対比を示すこと。

提案手法

• すべての必要な表現が重複なく達成されるように、再帰的構成法と貪欲アルゴリズムを用いて、すべての $ n \in \mathbb{Z} $ に対して $ r_{A,h}(n) = f(n) $ を満たす集合 $ A $ を構築する。
• 有限個の整数を除きすべてが $ h $ 個の $ A $ の要素の和として表される、順序 $ h $ の漸近的基底の概念の適用。
• 密度を制御するための数え上げ関数 $ A(-x,x) $ の使用により、任意の $ \varphi(x) \to \infty $ に対して $ \text{card}(\{a \in A : |a| \leq x\}) < \varphi(x) $ を示す。
• $ h \geq 2 $ の場合、和集合の構造のおかげで各整数に対する表現回数を独立に割り当てられる十分な柔軟性があることの活用。
• 平行移動不変性と加法的シフトを用いて、整数直線上にわたる表現回数を調整する。
• $ f(n) $ の値に関する数学的帰納法と場合分けによる証明により、各整数 $ n $ が $ hA $ 内に正確に $ f(n) $ 回の表現を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての関数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ で $ f^{-1}(0) $ が有限であるようなものについて、ある集合 $ A \subseteq \mathbb{Z} $ および $ h \geq 2 $ に対して $ r_{A,h} $ として実現可能か？
• RQ2 このような集合 $ A $ は、任意に疎らに構成可能か、すなわち任意の $ \varphi(x) \to \infty $ に対して $ \text{card}(\{a \in A : |a| \leq x\}) < \varphi(x) $ となるようにできるか？
• RQ3 整数上での表現関数の構造は、未解決の「一意性」と「有界性」予想が残る $ \mathbb{N}_0 $ 上の状況とどのように異なるか？
• RQ4 $ \mathbb{Z} $ 上の順序 $ h $ の漸近的基底の表現関数の集合 $ \mathcal{R}_0(\mathbb{Z}, h) $ に特徴づけられるか？
• RQ5 このような基底の密度を最大化できるか、あるいは関数 $ f \in \mathcal{F}_0(\mathbb{Z}) $ に対して $ A(-x,x) $ の上界が存在するか？

主な発見

• すべての $ h \geq 2 $ およびすべての関数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ で $ f^{-1}(0) $ が有限であるようなものに対して、すべての $ n \in \mathbb{Z} $ に対して $ r_{A,h}(n) = f(n) $ を満たす集合 $ A \subseteq \mathbb{Z} $ が存在する。
• 集合 $ A $ は任意に疎らに構成可能である：任意の $ \varphi(x) \geq 0 $ で $ \varphi(x) \to \infty $ を満たす関数について、すべての $ x $ に対して $ \text{card}(\{a \in A : |a| \leq x\}) < \varphi(x) $ を満たすような $ A $ が存在する。
• この結果は $ \mathbb{N}_0 $ の場合とは著しく対照的であり、表現関数は非常に制限されている—例えば、ナタンソンは、与えられた $ f \in \mathcal{F}_0(\mathbb{N}_0) $ を実現できる集合 $ A $ は高々一つしか存在しないと証明している。
• $ \mathbb{N}_0 $ におけるエドーシュ＝トゥーラン予想（無限に大きな表現関数）は未解決のままであり、クラス $ \mathcal{R}_0(\mathbb{N}_0, h) $ も完全に特徴づけられていない。
• $ h=2 $ の場合、本論文の構成により既知の密度境界が改善された：チレウエロとナタンソンは $ A(-x,x) \gg x^{\sqrt{2}-1} $ を示しており、これは以前の $ x^{1/(2h-1)} $ の境界よりも強い。
• この結果は、$ \{2g : g \in G\} $ が無限であるような可換群 $ G $ に拡張可能であり、$ \mathcal{R}_0(G,2) = \mathcal{F}_0(G) $ が成り立ち、特定の半群に対しても同様の結果が得られる。