[論文レビュー] Every Property of Outerplanar Graphs is Testable

Hiro Ito|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ハブを含む現実世界のスケールフリーネットワークをモデル化する自然なクラスである階層的スケールフリー（HSF）マルチグラフを導入する。パワー則指数が 2 より大きい場合、HSF グラフ上ですべてのグラフ性質が定数時間でテスト可能であることを証明しており、ハイパーファイニットネスと修正されたパーティショニングオラクルを用いて、一般のマルチグラフへの有界次数性質テストの拡張を実現している。

ABSTRACT

A D-disc around a vertex v of a graph G=(V,E) is the subgraph induced by all vertices of distance at most D from v. We show that the structure of an outerplanar graph on n vertices is determined, up to modification (insertion or deletion) of at most epsilon n edges, by a set of D-discs around the vertices, for D=D(epsilon) that is independent of the size of the graph. Such a result was already known for planar graphs (and any hyperfinite graph class), in the limited case of bounded degree graphs (that is, their maximum degree is bounded by some fixed constant, independent of |V|). We prove this result with no assumption on the degree of the graph. A pure combinatorial consequence of this result is that two outerplanar graphs that share the same local views are close to be isomorphic. We also obtain the following property testing results in the sparse graph model: * graph isomorphism is testable for outerplanar graphs by poly(log n) queries. * every graph property is testable for outerplanar graphs by poly(log n) queries. We note that we can replace outerplanar graphs by a slightly more general family of k-edge-outerplanar graphs. The only previous general testing results, as above, where known for forests (Kusumoto and Yoshida), and for some power-law graphs that are extremely close to be bounded degree hyperfinite (by Ito).

研究の動機と目的

• 現実世界のスケールフリー・ネットワーク（高次元のハブを含む）をモデル化する自然なマルチグラフクラスを定義すること。
• パワー則指数 > 2 のこのクラスの広い部分集合がハイパーファイニットであることを確立すること。
• 有界次数の制約がないにもかかわらず、この部分集合上ですべてのグラフ性質が定数時間でテスト可能であることを示すこと。
• 有界次数モデルを超えて、スケールフリー構造を有する一般のマルチグラフへと性質テストの適用範囲を拡張すること。
• パワー則次数分布を有する大規模で現実世界のネットワークにおける効率的で部分線形なアルゴリズムの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• スケールフリー・ネットワークの階層的同型性と孤立クリーク構造に基づき、階層的スケールフリー（HSF）マルチグラフを導入する。
• c-孤立クリークを定義し、それらを用いてパワー則次数分布を有する HSF マルチグラフを構築する。
• パワー則指数が 2 を超える場合、構造的分解と有界近傍成長を用いて HSF グラフのハイパーファイニットネスを証明する。
• 一定半径までの局所的近傍探索によって、高次元頂点をしきい値を超えて無視することで、決定的パーティショニングオラクルを構築する。
• ニューマンとゾーラー（STOC’11）の有界次数グラフ用フレームワークを、次数の制約がない一般のマルチグラフモデルに適応し、高次元頂点を無視することで扱う。
• 根付き部分グラフの正規化周波数ベクトル（ディスクおよび周波数分布）を用いて局所構造を比較し、定数クエリ複雑度で性質をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元ハブを含むスケールフリー・ネットワーク上で、すべてのグラフ性質を定数時間でテスト可能か？
• RQ2 パワー則指数 > 2 の階層的スケールフリー（HSF）マルチグラフのクラスはハイパーファイニットか？
• RQ3 有界次数グラフ用の性質テストフレームワークを、次数の制約のない一般のマルチグラフへと拡張可能か？
• RQ4 スケールフリー・ネットワークにおけるハブの存在が、定数時間性質テストを妨げるのか、それとも構造的分解によって処理可能か？
• RQ5 HSF グラフに対してパーティショニングオラクルを構築可能か？これにより一般グラフモデルにおける効率的な性質テストが可能になるか？

主な発見

• パワー則指数が 2 より大きい HSF マルチグラフの部分集合では、すべての性質が定数時間でテスト可能である。
• この部分集合はハイパーファイニットであり、わずかな辺の削除によって小さな成分に分割可能である。
• このクラスに対して決定的パーティショニングオラクルが存在し、一定半径までの局所的近傍探索が可能である。
• アルゴリズムは、次数がしきい値を超える頂点を無視することで、有界次数性質テストフレームワークを修正し、効果的にグラフを有界次数構造に還元する。
• クエリ複雑度は δ^O(δ²/ε + n₀) で有界であり、ここで δ は局所的探索における最大次数、ε は距離パラメータである。
• 本結果は、実世界のスケールフリー・ネットワークの広いクラスに対して、一般グラフモデルで初めての普遍的な定数時間性質テストアルゴリズムを確立した。