[論文レビュー] Evolution equations for maximal monotone operators: asymptotic analysis in continuous and discrete time

Juan Peypouquet, Sylvain Sorin|ArXiv.org|May 8, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 48被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における最大単調作用素によって支配される連続的および離散的発展方程式の統一的漸近的解析を提供し、軌道および列の弱収束と強収束を比較する。プロキシマルおよびオイラー離散化が、ほぼ軌道同値性を通じて連続的ダイナミクスの漸近的挙動を継承することを確立し、摂動またはステップサイズの可積分性および全 Variation 条件の下での収束に関する主要な結果を提示する。

ABSTRACT

This survey is devoted to the asymptotic behavior of solutions of evolution equations generated by maximal monotone operators in Hilbert spaces. The emphasis is in the comparison of the continuous time trajectories to sequences generated by implicit or explicit discrete time schemes. The analysis covers weak convergence for the average process, for the process itself and strong convergence and aims at highlighting the main ideas and unifying the proofs. We further make the connection with the analysis in terms of almost orbits that allows for a broader scope.

研究の動機と目的

• 最大単調作用素に対する連続時間微分包含および離散時間スキーム（プロキシマル、オイラー）の漸近的解析を統一すること。
• 離散的近似が連続的軌道の弱収束または強収束特性をどの条件下で継承するかを明確にすること。
• 漸近的同値性およびほぼ軌道の概念を通じて、異なる力学系（連続的、離散的、正則化、摂動付き）の間の関係を確立すること。
• ヒルバート空間における技術および結果の包括的かつ簡潔なサーベイを提供し、必要に応じてバナッハ空間への拡張を含めること。
• 強収束の十分条件を特定し、特定の離散化が過度に正確な近似ゆえに収束を保証できない理由を説明すること。

提案手法

• 最大単調作用素によって支配される連続的および離散的ダイナミクスを分析するために、ヨシダ近似およびプロキシマル列を用いる。
• 近似スキームにおける連続的反復間の距離を評価するために、小林の不等式を適用する。
• 連続的および離散的システム間の漸近的挙動を比較するために、ほぼ軌道の概念を用いる。
• 軌道および列の弱極限を特定するために、漸近的中心の特徴づけを用いる。
• 摂動（例：ε(t)v(t)）およびステップサイズ列（λₙ）を導入し、正則性条件の下での安定性および収束を研究する。
• 特に A = ∂f の場合に、凸解析および単調作用素論の道具（リゾルベントおよび部分微分）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大単調作用素によって生成される離散的列（プロキシマルまたはオイラー）が、作用素のゼロに弱収束または強収束する条件は何か？
• RQ2 微分包含 ẋ ∈ -Ax の連続的時間軌道は、収束挙動の観点から、離散的近似とどの程度漸近的に関係しているか？
• RQ3 ε(t) ∈ L¹ または ε̸∈ L¹ のような正則化または摂動付きシステムは、元のシステムとどの意味で漸近的に同値であるか？
• RQ4 ステップサイズ（λₙ）または摂動関数（ε(t)）の可積分性または全 Variation が収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 ほぼ軌道の概念をどのように用いることで、2階方程式や正則化経路を含む多様な力学系の解析を統一できるか？

主な発見

• 摂動 ε(t) が L¹(0,∞;ℝ₊) に属する限り、2階系でさえも、軌道 u(t) の作用素 A のゼロへの弱収束が保証される。
• ステップサイズ λₙ が ℓ²(ℕ) に属する場合、離散的プロキシマル列は弱収束しない可能性がある。これは、過度に正確な離散化が連続的ダイナミクスの望ましくない挙動を再現する可能性があることを示唆する。
• A = ∂f または ε が有限の全 Variation を持つ場合、v(t) がゼロ集合 S への射影 P_S 0 に強収束することが保証される。
• φₙ} ∈ ℓ¹(ℕ;H) を満たす yₙ₋₁ − yₙ ∈ λₙAyₙ + φₙ を満たすプロキシマル列 {yₙ} は、連続的発展システムのほぼ軌道であるため、漸近的同値性が保証される。
• 2階系 ẍ + γẋ + ∇Φ(x) + ε(t)x = 0 に対して、ε ∈ L¹ ならば、ほぼ軌道同値性を用いて Φ の最小化子への弱収束が示される。
• ステップサイズおよび摂動が適切なsummabilityまたは可積分性条件を満たす限り、連続的ダイナミクス ẃx ∈ -Ax の漸近的挙動は離散化によって保存される。