[論文レビュー] Evolution families and maximal regularity for systems of parabolic equations

Chiara Gallarati, Mark Veraar|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する可測な係数と空間に連続な係数を持つ放物型PDE系に対して、作用素論的手法と重み付き$L^q$-空間上での発展族の構成を用いて、最大$L^p$-正則性を確立する。主な貢献は、すべての$p,q\in(1,\infty)$に対して、$A_p$-重み条件の下で、重みの$A_p$-特徴量に鋭い依存性を示す非斉次系および初期値問題に対する最大正則性推定式の確立である。

ABSTRACT

In this paper we prove maximal $L^p$-regularity for a system of parabolic PDEs, where the elliptic operator $A$ has coefficients which depend on time in a measurable way and are continuous in the space variable. The proof is based on operator-theoretic methods and one of the main ingredients in the proof is the construction of an evolution family on weighted $L^q$-spaces.

研究の動機と目的

• 時間に依存する係数が時間に関して可測で空間に関して連続であるような放物型PDE系に対して、最大$L^p$-正則性を確立すること。
• 文献[16]の作用素論的枠組みを、行列係数による明示的記号式の欠如に起因する方程式系へと拡張すること。
• フーリエ乗算子論と陰関数定理を用いて、$x$-独立係数に対して重み付き$L^q$-空間上での発展族$S(t,s)$を構成すること。
• 非初期値問題および初期値問題の両方に対する最大正則性推定式を導出し、重みの$A_p$-特徴量への鋭い依存性を含むこと。
• 将来の非線形問題や有界領域上でのPDEへの応用を踏まえて、時間に関するべき乗重み付き時間空間への拡張の基盤を提供すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathcal{R}$-有界性とフーリエ乗算子論に基づく作用素論的手法を用いて最大正則性を確立する。
• $x$-独立係数に対して、作用素の記号を常微分方程式系の解として特徴づけることで、$A(t)$によって生成される発展族$S(t,s)$を構成する。
• 記号は陰関数定理を用いて推定され、これにより解の家族の$\mathcal{R}$-有界性が得られる。
• 時間に依存する係数を扱い、関連するフーリエ乗算子作用素の有界性を保証するために、$A_p$-重みを用いた重み付き$L^q$-空間が用いられる。
• 局所化と外挿技術を用いたアプローチにより、$x$-独立係数から一般の$x$-依存係数への結果の拡張が行われる。
• 初期値問題は、$v(t,\cdot) = e^{-\lambda t}u(t,\cdot)$と変換することで扱われ、$\lambda + A(t)$というずらされた作用素による最大正則性問題に帰着される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する係数が時間に関して可測で空間に関して連続であるような放物型PDE系に対して、時間に関する連続性を仮定しないで最大$L^p$-正則性を確立できるか？
• RQ2 係数が時間に依存し行列値である場合、特に記号が明示的に得られない状況において、重み付き$L^q$-空間上での発展族をどのように構成できるか？
• RQ3 $A_p$-重みがこのような系の最大正則性推定式を保証するために果たす役割は何か？また、重みの$A_p$-特徴量は推定式の定数にどのように影響するか？
• RQ4 文献[16]の作用素論的手法を$N>1$の系に拡張し、一般の$p,q\in(1,\infty)$に対して非発散型形式の偏微分方程式に適用可能か？
• RQ5 時間に関するべき乗重みを用いた初期値問題に最大正則性結果をどのように適応できるか？初期データの対応するトレース空間は何か？

主な発見

• 時間に依存する係数が時間に関して可測で空間に関して連続であるような放物型PDE系に対して、すべての$p,q\in(1,\infty)$に対して、Legendre-Hadamardの強楕円型条件の下で最大$L^p$-正則性が成立する。
• $x$-独立係数に対して、フーリエ乗算子論と陰関数定理を用いて、記号を推定することで、重み付き$L^q$-空間上での発展族$S(t,s)$が構成される。
• 非初期値問題に対する最大正則性推定式は、$A_p$-$A_q$-一貫性を持つ定数を伴い、これは重みの$A_p$-特徴量に連続的に依存する。
• 時間区間$(0,T)$上でのべき乗重み$v_\gamma(t) = t^\gamma$を用いた初期値問題に対して、$W^{1,p}(0,T,v_\gamma;X_0)\cap L^p(0,T,v_\gamma;X_1)\cap C([0,T];B^s_{q,p}(\mathbb{R}^d,w))$に属する一意な強い解が存在し、$s = 2m(1 - \frac{1+\gamma}{p})$を満たす。解のノルムは、データの$L^p(0,T,v_\gamma;X_0)$ノルムと初期データの$B^s_{q,p}(\mathbb{R}^d,w)$ノルムによって有界である。
• 実補間空間$(X_0,X_1)_{1-\frac{1+\gamma}{p},p}$は、$B^s_{q,p}(\mathbb{R}^d,w)$に一致し、これは許容可能な初期データのクラスを特徴付ける。
• 結果は外挿と局所化に対して安定であり、一般の$x$-依存係数への拡張や、より広い初期データクラスを有する非線形PDEへの応用が可能となる。