[論文レビュー] Evolution of Structures in Generalized Gravity Theories

Jai-chan Hwang|CERN Bulletin|May 12, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 29被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、一般化重力理論の広いクラスについて、一般相対性理論に最小結合されたスカラー場を用いた共形同値性を活用して宇宙論的摂動方程式を導出する。スカラーおよびテンソル摂動の解を統一し、大スケールで保存される量を特定し、正準量子化のための正規化条件を確立することで、修正重力フレームワーク内での一貫した量子揺らぎ解析を可能にする。

ABSTRACT

A broad class of generalized Einstein's gravity can be cast into Einstein's gravity with a minimally coupled scalar field using suitable conformal rescaling of the metric. Using this conformal equivalence between the theories, we derive the equations for the background and the perturbations, and the general asymptotic solutions for the perturbations in the generalized Einstein's gravity from the simple results known in the minimally coupled scalar field. Results for the scalar and tensor perturbations can be presented in unified forms. The large scale evolutions for both modes are characterized by corresponding conserved quantities. We also present the normalization condition for canonical quantization.

研究の動機と目的

• 一般化重力理論（ブラウン＝ディック、誘導重力、非線形曲率結合を含む）における宇宙論的摂動の正確な方程式および漸近的解を導出すること。
• 一般化重力ラグランジアンを一般相対性理論に最小結合されたスカラー場へ写像するための共形変換を用いた厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 共形写像の下でスカラーおよびテンソル摂動が同一の運動方程式に従うことを示し、両者の取り扱いを統一すること。
• 大スケール極限においてスカラーおよびテンソルモードの両方で保存される量を特定し、長波長領域の進化解析を簡略化すること。
• スカラー場摂動の正準量子化を一貫して行うための正規化条件を導出することにより、修正重力モデル内での量子揺らぎ解析を可能にすること。

提案手法

• 一般化重力ラグランジアン $ f(\phi,R) $ を、共形変換 $ \hat{g}_{ab} = \Omega^2 g_{ab} $ および $ \Omega = \sqrt{F} = e^{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}\psi} $ を用いて、最小結合スカラー場 $ \hat{\phi} $ を持つ一般相対性理論に写像する。
• 変換されたラグランジアン $ \hat{L} = \frac{1}{2}\hat{R} - \frac{1}{2}\hat{\phi}^{;a}\hat{\phi}_{,a} - \hat{V}(\hat{\phi}) $ を導出し、一般化重力と最小結合スカラー場理論との等価性を示す。
• スカラー摂動方程式の簡略化のため、一様曲率ゲージを適用し、最小結合系からの解の直接的写像を可能にする。
• 共形変換されたフレーム内での摂動のモード進化方程式を導出し、モード関数 $ \delta\phi_{\mathbf{k}}(t) $ に対する2階微分方程式を得る。
• 正準可換関係と整合性を持つように、量子揺らぎの振幅を固定するためのロンスキアン正規化条件（式50）を確立する。
• 摂動的半古典的近似を用い、スカラー場を $ \phi(\mathbf{x},t) = \bar{\phi}(t) + \delta\hat{\phi}(\mathbf{x},t) $ と展開し、量子化に際してフーリエモード展開を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化重力理論における宇宙論的摂動を、一般相対性理論に最小結合されたスカラー場への共形同値性を用いて体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 この共形写像の下で、大スケール極限におけるスカラーおよびテンソル摂動方程式はどのような統一的形を取るか？
• RQ3 一般化重力理論において、超ハッブルスケールで保存される摂動モードは何か？その保存量の物理的意味は何か？
• RQ4 一般化重力理論において、スカラー場摂動の正準量子化を一貫して行うにはどうすればよいか？ユニタリティを保証する正規化条件は何か？
• RQ5 共形変換が、修正重力モデルにおける真空の選択および量子揺らぎの2点関数に与える影響は何か？

主な発見

• 一般化 $ f(\phi,R) $ 重力におけるスカラーおよびテンソル摂動方程式は、最小結合スカラー場理論への共形写像によって統一的な形で表現可能である。
• 大スケール極限において、スカラー摂動 $ \varphi_{\delta\phi} $ の成長モードおよびテンソル摂動 $ H_T $ は保存され、$ \varphi_{\delta\phi}(\mathbf{x},t) = C(\mathbf{x}) $ および $ H_T(\mathbf{x},t) = C_g(\mathbf{x}) $ と表され、スケール不変性を示す。
• 量子揺らぎの正規化はロンスキアン条件（式50）によって固定され、正準可換関係と整合的であり、真空の選択に依存する振幅の大きさを定義する。
• 共形変換により、複雑な一般化重力ラグランジアンが単純な最小結合スカラー場形式に写像され、標準宇宙論からの既知の結果を直接転用可能になる。
• 導出された方程式および解は、ブラウン＝ディック、誘導重力、非線形曲率結合を含む広範な重力モデルに適用可能であり、表1に要約されている。
• 恣意的なゲージ選択を避ける代わりに、一様曲率ゲージを用いることで、標準一般相対性理論と同様にスカラーモードの力学を簡略化する。