[論文レビュー] Evolutionarily stable strategies of random games, and the vertices of random polygons

Hart, Sergiu, Rinott, Yosef+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2008

Game Theory and Applications被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、分布 F からの i.i.d. ランダム変数で埋められたペイオフ行列を有する大規模なランダムゲームにおける2点進化的に安定な戦略（ESS）の存在および分布を調査する。軽尾分布（例：一様、正規）の場合、2点 ESS の存在確率は n → ∞ のとき 1 に収束するが、重尾分布（例：パレート、コーシー）の場合、1 − 1/√e ≈ 39% に収束する。結果として、軽尾分布では平面内の n 個のランダム点の凸包の頂点数の期待値が発散し、重尾分布では 4 に収束することが示唆される。

ABSTRACT

An evolutionarily stable strategy (ESS) is an equilibrium strategy that is immune to invasions by rare alternative (``mutant'') strategies. Unlike Nash equilibria, ESS do not always exist in finite games. In this paper we address the question of what happens when the size of the game increases: does an ESS exist for ``almost every large'' game? Letting the entries in the $n imes n$ game matrix be independently randomly chosen according to a distribution $F$, we study the number of ESS with support of size $2.$ In particular, we show that, as $n o \infty$, the probability of having such an ESS: (i) converges to 1 for distributions $F$ with ``exponential and faster decreasing tails'' (e.g., uniform, normal, exponential); and (ii) converges to $1-1/\sqrt{e}$ for distributions $F$ with ``slower than exponential decreasing tails'' (e.g., lognormal, Pareto, Cauchy). Our results also imply that the expected number of vertices of the convex hull of $n$ random points in the plane converges to infinity for the distributions in (i), and to 4 for the distributions in (ii).

研究の動機と目的

• i.i.d. ペイオフ要素を有する大規模なランダムゲームにおける2点進化的に安定な戦略（ESS）の存在確率の漸近的確率を特定すること。
• 分布を指数的またはそれ以上の速度で減少する尾を持つもの（EF）と、指数的より遅い速度で減少する尾を持つもの（SE）の2つのクラスに分類し、その ESS の存在に与える影響を調査すること。
• ランダムゲームにおける2点 ESS の数と、平面内の n 個のランダム点の凸包の頂点数との間の関係を確立すること。
• 2点 ESS の数の極限定常分布を分析し、F の尾の挙動に依存するパラメータを持つポアソン分布への収束を示すこと。
• 異なる分布的仮定のもとで、大規模なゲームにおける任意の ESS（純粋または混合）の存在確率全体が 1 に収束するか、それとも尾の挙動に依存するかを検討すること。

提案手法

• 連続的分布 F（定義域 (a,b)）から i.i.d. にペイオフ要素を抽出する n×n ランダムゲームのモデルを構築し、2点 ESS を支持サイズ 2 の対称的混合戦略として定義する。
• ポアソン近似の Chen–Stein 法を用いて 2点 ESS の数を分析し、実際の分布とポアソン極限との間の全変動距離の上限を導出する。
• x→∞ のときの尾確率 1−F(x) の挙動に基づき、分布を EF（指数的またはそれ以上の速度で減少する尾）と SE（指数的より遅い速度で減少する尾）に分類する。
• 特に3戦略に関するペイオフ比較の同時分布に注目し、幾何的および確率的議論を用いて 2点 ESS イベントの同時確率を分析する。
• 確率的幾何学の結果を応用し、分布 F の対称版を仮定することで、ランダムゲームにおける 2点 ESS の数と、R² 内の n 個のランダム点の凸包の頂点数との関係を確立する。
• 集中と尾のバウンド（例：補題 24、補題 22、28–30）を用いて、ペイオフ比較に関連するレアイベントの確率を制御し、ESS の数に関する漸近的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 戦略数 n → ∞ のとき、大規模なランダムゲームにおける 2点 ESS の存在確率の極限は何か？
• RQ2 ペイオフ分布 F の尾の挙動は、2点 ESS の存在および数にどのように影響するか？
• RQ3 大規模なランダムゲームにおける 2点 ESS の数の極限定常分布は何か？
• RQ4 平面内の n 個のランダム点の凸包の頂点数と、対応するランダムゲームにおける 2点 ESS の数とはどのように関係するか？
• RQ5 すべての分布に対して、任意の ESS（純粋または混合）の存在確率は 1 に収束するのか、それとも尾の挙動に依存するのか？

主な発見

• EF クラスの分布（例：一様、正規、指数）では、n → ∞ のとき 2点 ESS の存在確率が 1 に収束する。
• SE クラスの分布（例：パレート、コーシー、対数正規）では、n → ∞ のとき 2点 ESS の存在確率が 1 − 1/√e ≈ 39% に収束する。
• 2点 ESS の数は、EF 分布ではポアソン(λ_n) に分布収束し、λ_n → ∞ となる。SE 分布では λ_n → 1/2 に収束する。
• EF 分布では、平面内 n 個のランダム点の凸包の頂点数の期待値が無限大に発散するが、SE 分布では 4 に収束する。
• SE 分布では、頂点数が確率的に 4 に収束するため、凸包が四角形である確率は 1 に近づく。
• SE 分布では、支持サイズが 2 以下の ESS が存在する確率は 1 − e^{-3/2} ≈ 78% に収束し、1 より小さい非自明な極限であることが示唆される。