[論文レビュー] Evolutionary Algorithms for the Chance-Constrained Knapsack Problem

Yue Xie, Oscar Harper+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Optimization and Packing Problems参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アイテムの重さが確率的であり、合計重量が容量を超える確率がα以上でないという条件を満たすChance-Constrained Knapsack Problem (CCKP)に対して、多目的進化的アルゴリズム（GSEMO）を提案する。Chebyshevの不等式とChernoffの不等式を用いて代理制約を構築し、GSEMOが単目的EAおよび決定論的手法よりも、すべてのインスタンスサイズにおいて解の品質と実行時間の両面で優れていることを示している。特に大規模問題において顕著な優位性を示している。

ABSTRACT

Evolutionary algorithms have been applied to a wide range of stochastic problems. Motivated by real-world problems where constraint violations have disruptive effects, this paper considers the chance-constrained knapsack problem (CCKP) which is a variance of the binary knapsack problem. The problem aims to maximize the profit of selected items under a constraint that the knapsack capacity bound is violated with a small probability. To tackle the chance constraint, we introduce how to construct surrogate functions by applying well-known deviation inequalities such as Chebyshev's inequality and Chernoff bounds. Furthermore, we investigate the performance of several deterministic approaches and introduce a single- and multi-objective evolutionary algorithm to solve the CCKP. In the experiment section, we evaluate and compare the deterministic approaches and evolutionary algorithms on a wide range of instances. Our experimental results show that a multi-objective evolutionary algorithm outperforms its single-objective formulation for all instances and performance better than deterministic approaches according to the computation time. Furthermore, our investigation points out in which circumstances to favour Chebyshev's inequality or the Chernoff bound when dealing with the CCKP.

研究の動機と目的

• 確率的重さを伴うナップサック問題を、容量違反の確率が厳密にα以下であるという制約のもとで最適化する課題に対処すること。
• Chebyshevの不等式およびChernoffの不等式といった確率的尾部不等式を代理制約として組み込むことで、チャンス制約を効率的に扱える進化的アルゴリズムの開発。
• 多様なCCKPインスタンスにおいて、決定論的手法（ILP、動的計画法、ヒューリスティクス）と単目的・多目的進化的アルゴリズムの性能を比較すること。
• CCKPの文脈において、Chebyshevの不等式とChernoffの不等式のどちらがより優れた性能を示すかを特定すること。

提案手法

• 完全な分布計算を伴わずに、容量違反の確率を推定するために、Chebyshevの不等式とChernoffの不等式を用いて代理のフィットネス関数を構築する。
• 利益と制約違反リスクのトレードオフを探索するため、単目的の(1+1)EAと多目的のGSEMOアルゴリズムを実装する。
• 軽い尾部分布（例：ポアソン分布、正規分布）に対してはChernoffの不等式を、より重い尾部分布または情報が乏しい分布に対してはChebyshevの不等式を適用する。
• 100、300、500アイテムのインスタンスに対して、30回の実行における性能を統計的検定（p値）で比較する。αおよびβパラメータを変化させたインスタンスを用いる。
• Wilcoxon符号順位検定からのp値を用いて、平均利益と統計的有意性を性能評価に用いる。
• 利益の最大化と、制約違反の推定確率の最小化を同時に達成する多目的モデルを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chance-Constrained Knapsack Problemにおいて、Chernoffの不等式がChebyshevの不等式よりもタイトな境界を提供するのはどのような条件下か？
• RQ2 多目的進化的アルゴリズムは、CCKPインスタンスにおいて単目的の定式化および決定論的手法と比較して、どのように性能を発揮するか？
• RQ3 確率不等式に基づく代理制約は、確率的重さ分布下でも妥当性を保ちながら、進化的探索を効果的に導けるか？
• RQ4 CCKPにおける進化的アルゴリズムの品質と収束性に、不等式の選択（Chebyshev対Chernoff）が顕著に影響を与えるか？
• RQ5 100、300、500アイテムのインスタンスサイズおよびα = 0.01、0.05、0.1の確率閾値において、計算時間と解の品質のトレードオフはどのように変化するか？

主な発見

• GSEMOは、すべてのインスタンスクラスで最良の解の品質を達成した。100アイテムインスタンスでは、α=0.01のとき平均利益が148834、α=0.01のとき149543、α=0.1のとき209630を記録し、(1+1)EAおよび決定論的手法を上回った。
• 500アイテムインスタンスでは、GSEMOが平均利益209047（α=0.01）および209630（α=0.1）を達成したが、ヒューリスティクス手法は2時間以内に処理を完了できず、著しく劣っていた。
• ヒューリスティクス手法は小規模インスタンス（100アイテム）では他の手法を上回ったが、スケーリング不能であり、500アイテムインスタンスでは2時間以内に処理を完了できなかった。
• GSEMOは小規模インスタンスにおいてILPおよびヒューリスティクスと同等の解の品質を達成したが、計算時間は数分で、決定論的手法の数時間に比べて著しく短縮された。
• 容量違反確率が低い（α ≤ 0.01）場合、特に軽い尾部分布に対して、Chernoffの不等式の使用がChebyshevの不等式の使用よりも効果的であった。
• 統計的検定により、GSEMOがすべてのインスタンスタイプにおいて(1+1)EAを顕著に上回っていることが確認され、すべての比較でp値 < 0.05であった。