[論文レビュー] Evolutionary game dynamics with three strategies in finite populations

Jing Wang, Feng Fu+2 more|ArXiv.org|Jan 29, 2007

Evolutionary Game Theory and Cooperation参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、三つの戦略を用いた有限集団における進化的ゲームモデルを提案し、頻度依存のモーラン過程を用いて、固定確率を計算するための一次方程式系として定式化している。主な貢献は、グローバル固定確率とローカル固定確率の導入であり、弱選択および中程度の相互作用ラウンド数の下で、Tit-for-Tat (TFT) が All-C および All-D の集団に侵入し、支配的になることを示しており、無限集団モデルでは失敗するが有限集団では協力の出現が説明可能である。

ABSTRACT

We propose a model for evolutionary game dynamics with three strategies $A$, $B$ and $C$ in the framework of Moran process in finite populations. The model can be described as a stochastic process which can be numerically computed from a system of linear equations. Furthermore, to capture the feature of the evolutionary process, we define two essential variables, the {\em global} and the {\em local} fixation probability. If the {\em global} fixation probability of strategy $A$ exceeds the neutral fixation probability, the selection favors $A$ replacing $B$ or $C$ no matter what the initial ratio of $B$ to $C$ is. Similarly, if the {\em local} fixation probability of $A$ exceeds the neutral one, the selection favors $A$ replacing $B$ or $C$ only in some appropriate initial ratios of $B$ to $C$. Besides, using our model, the famous game with AllC, AllD and TFT is analyzed. Meanwhile, we find that a single individual TFT could invade the entire population under proper conditions.

研究の動機と目的

• 集団サイズが厳密に一定である有限集団における三戦略の進化的ゲームダイナミクスをモデル化すること。
• 無限集団モデルの限界を克服するため、確率的効果と有限サイズダイナミクスを組み込むこと。
• 選択の有利性を評価するためのグローバルおよびローカル固定確率を定義し、計算すること。
• All-C、All-D、TFT 戦略を含む代表的な協力ゲームを、有限集団条件の下で分析すること。
• TFT が無限集団モデルでは失敗するが、有限集団では All-C や All-D を効果的に侵入・置換する条件を同定すること。

提案手法

• 集団サイズ N の有限集団における頻度依存モーラン過程として進化的プロセスを定式化し、出生・死滅ステップを含む。
• 報酬行列と弱選択 (w ≪ 1) を用いて、各戦略の適応度関数を導出。相互作用の平均報酬を基に算出する。
• 確率過程のマスター方程式から導かれる一次方程式系を解き、固定確率を計算する。
• 任意の初期の B 対 C の比率に対するグローバル固定確率と、特定の初期比率に対するローカル固定確率を導入し、戦略の選択の有利性を評価する。
• All-C、All-D、TFT を含む三戦略ゲームにモデルを数値的に適用し、単一の変異体の固定確率を計算する。
• 弱選択近似を用いて、TFT の固定確率が中立的固定確率を上回る条件を導出し、特に繰り返しゲームにおける中程度のラウンド数において注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の Tit-for-Tat (TFT) 個体が、All-C と All-D プレイヤーからなる有限集団に侵入し、固定する条件は何か？
• RQ2 グローバル固定確率とローカル固定確率は、三戦略ゲームにおける戦略の選択の有利性を予測する上で、どのように異なるか？
• RQ3 なぜ TFT は無限集団モデルでは侵入に失敗するが、有限集団では成功するのか？また、集団サイズはそのプロセスにどのような役割を果たすか？
• RQ4 繰り返し囚人のジレンマにおけるラウンド数は、有限集団における TFT の固定確率にどのように影響するか？
• RQ5 有限集団のサイズ効果は、無限集団のリプロダクター動的モデルでは好まれないが、有限集団では協力が出現するゲームにおいて、その出現を説明できるか？

主な発見

• 単一の TFT 個体は、固定確率が 1/N を上回り、All-C や All-D よりも高い侵入・支配の可能性を示しており、集団への侵入に成功する可能性が高まっている。
• 中程度のラウンド数 (n) の場合、TFT の均衡頻度が n/(n+θ) よりも低い場合、TFT による All-C や All-D のローカル置換が選択的に有利となる。
• TFT が All-C や All-D をグローバルに置換するには、θg > 2 の場合に x* < 1/(1+θg) < 1/3 というより厳しい条件が必要であり、強い選択圧を示す。
• ラウンド数 n が増加するにつれ、選択が TFT の支配的置換を支持する確率は 1 に近づき、特に TFT と All-D が複数ラウンドにわたり報酬でほぼ同等になる場合に顕著である。
• 有限集団サイズの効果により、初期ラウンドでの相互の裏切りにもかかわらず、繰り返し相互作用による報酬の蓄積のおかげで、TFT は All-D を上回る性能を示す。
• 無限集団モデルにおける 1/3 の法則は、有限集団でも成り立つが、ローカルに限る。グローバルな置換には、より厳しい条件が必要となる。