[論文レビュー] Exact Amplitude Distributions of Sums of Stochastic Sinusoidals and their Application in Bit Error Rate Analysis

Y. Maghsoodi, Arafat Al‐Dweik|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

Power Line Communications and Noise参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、振幅と位相の任意の結合確率分布をもつn個の確率的正弦波の和の振幅の確率密度関数（PDF）の正確な解析的表現を、再帰的変換法を用いて導出する。主な貢献は、一般で近似を含まない公式であり、少数の可分辨マルチパス成分を有する狭帯域 fading チャネルにおける正確なビット誤り率（BER）評価を可能にし、特にnが小さい場合にガウス近似よりも顕著に高い精度を示す。

ABSTRACT

We consider a model applicable in many communication systems where the sum of n stochastic sinusoidal signals of the same frequency, but with random amplitudes as well as phase angles is present. The exact probability distribution of the resulting signal's amplitude is of particular interest in many important applications, however the general problem has remained open. We derive new general formulae for the resultant amplitude's distribution, in terms of any given general joint density of the random variables involved. New exact probability densities of cases of interest follow from the general formulae which are applied to the problem of the exact evaluation of the bit error rate performance in narrowband multipath fading channels that consist of a small number of jointly dependent resolvable multipath components. The numerical results are compared with those of the currently popular method of Gaussian approximation. These are consistent with simulations, and show significant increase in accuracy particularly for small number of components.

研究の動機と目的

• 振幅と位相の任意の結合確率分布をもつn個の確率的正弦波の和の振幅に関する正確で近似を含まない確率密度関数（PDF）を導出すること。
• 振幅と位相が任意に分布し、かつ相関を有する一般ケースにおいて、振幅分布の閉形式解を得るという長年の課題を克服すること。
• 導出された正確な分布を、少数の可分辨成分を有する狭帯域マルチパス fading チャネルにおけるビット誤り率（BER）分析に応用すること。
• 独立性、同一分布、一様位相分布といった制限的な仮定を排除することで、先行研究を一般化・拡張するフレームワークを提供すること。
• 特にnが小さい場合に顕著な優位性を示す、従来のガウス近似手法に比べてBER評価における優れた精度を実証すること。

提案手法

• 累積分布関数および振幅のPDFに対する2つの一般的で正確な公式（定理1および定理2）を、位相および振幅変数の再帰的変換を用いて導出する。
• n個の正弦波の和を段階的に構築する再帰的アプローチを採用し、n番目の和の振幅分布を(n-1)番目の和とn番目の正弦波の関係で表現する。
• 現在および過去の振幅と位相に依存する導出パラメータψₙの逆余弦を含む重要な変換を導入し、振幅の大きさの境界を定める条件を表現する。
• 過去の振幅と位相が与えられた下でのn番目の位相の条件付きPDFを用い、変数変換のヤコビアンを関数V(ψₙ)で表現し、積分に組み込む。
• デルタ関数の形式的取り扱いにより、位相条件の離散的解を処理し、最終的なPDF式を、1つの振幅設定に対して2つの可能な位相値の和として表現する。
• 最終的なPDFは、振幅と位相の同時PDFを用いて表現され、|ψₙ| ≤ 1である場合にのみ有効となるインジケータ関数を含み、結果をコンactな形で期待値演算子を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振幅と位相が任意の結合確率分布をもつn個の確率的正弦波の和の振幅の正確な確率密度関数（PDF）は何か？
• RQ2 振幅と位相の独立性や同一分布の仮定を一切行わずに、振幅分布を再帰的にどのように導出できるか？
• RQ3 正確な振幅分布を用いるのとガウス近似を用いるのとでは、狭帯域 fading チャネルにおけるビット誤り率（BER）性能評価にどのような影響を与えるか？
• RQ4 特に可分辨マルチパス成分の数が少ない場合に、正確な分布を用いることでBER推定の精度がどのように向上するか？
• RQ5 導出された一般公式は、相互に依存するマルチパス成分や非一様な位相・振幅分布を有する実用的通信システムへ応用可能か？

主な発見

• 本稿では、振幅と位相の任意の結合確率分布をもつn個の確率的正弦波の和のPDFを、すべてのnに対して正確に導出する一般式を提示し、独立性や同一分布の仮定を一切含まない。
• 導出された式は、振幅と位相の二重積分として表現され、1つの設定に対して2つの離散的位相解の和をとる形であり、変数変換の正しさを保証するヤコビアン項V(ψₙ)が重みとして含まれる。
• 数値結果から、正確な手法はシミュレーション結果とよく一致するが、ガウス近似は特にnが小さい場合（例：n=2,3）に顕著な誤差を示すことが明らかになった。
• 正確なアプローチは、低SNR領域および可分辨マルチパス成分が少ない場合に、ガウス近似に比べてBER精度が著しく向上することを示した。
• 本手法は一般性を有し、独立性が成り立つ場合のランダムなnに対しても拡張可能であり、独立性が成り立たない場合でもやや複雑な導出を伴うが、依然として適用可能である。
• 本フレームワークにより、先行研究の近似が不正確であったと知られている、狭帯域fadingチャネル、FH-SSS、MAI制限系などのシステムにおける正確な性能評価が可能となった。