[論文レビュー] Exact and Efficient Hamilton-Jacobi Reachability for Decoupled Systems

Mo Chen, Claire J. Tomlin|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2015

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、独立した低次元HJ PDEを別々に解き、近似を用いずに高次元解を再構成することにより、時間不変で分離可能な系に対する正確かつ効率的なハミルトン＝ジャコビ到達可能性手法を提示する。この手法は、従来の複雑さと最適性のトレードオフを解消し、分離可能なダイナミクスを有する系において、計算コストを顕著に削減しつつ正確な到達集合の計算を可能にする。

ABSTRACT

Reachability analysis is important for studying optimal control problems and differential games, which are powerful theoretical tools for analyzing and modeling many practical problems in robotics, aircraft control, among other application areas. In reachability analysis, one is interested in computing the reachable set, defined as the set of states from which there exists a control, despite the worst disturbance, that can drive the system into a set of target states. The target states can be used to model either unsafe or desirable configurations, depending on the application. Many Hamilton-Jacobi formulations allow the computation of reachable sets; however, due to the exponential complexity scaling in computation time and space, problems involving approximately 5 dimensions become intractable. A number of methods that compute an approximate solution exist in the literature, but these methods trade off complexity for optimality. In this paper, we eliminate complexity-optimality trade-offs for time-invariant decoupled systems using a decoupled Hamilton-Jacobi formulation that enables the exact reconstruction of high dimensional solutions via low dimensional solutions of the decoupled subsystems. Our formulation is compatible with existing numerical tools, and we show the accuracy, computation benefits, and an application of our novel approach using two numerical examples.

研究の動機と目的

• 高次元系におけるハミルトン＝ジャコビ到達可能性の指数的計算複雑性に対処すること。
• 到達可能性解析における計算複雑さと解の最適性のトレードオフを解消すること。
• 分離可能な部分系の解を用いて高次元到達集合を正確に再構成する手法を開発すること。
• 計算時間とメモリ使用量を顕著に削減しつつ、既存の数値ツールと互換性を保つこと。
• 分離可能なダイナミクスを有する数値例を通じて、手法の正確性と効率性を示すこと。

提案手法

• この手法は、元の高次元ハミルトン＝ジャコビPDEを、各分離可能な部分系に対して独立した低次元PDEに分解する。
• 分離可能なダイナミクスの構造を活用し、ハミルトニアンの符号に基づいて状態空間内の領域を定義し、HJ PDEが時間不変または標準的なHJ形式に簡略化される領域を特定する。
• 集合𝒻₁(t)と𝒻₂(t)の性質を用いて、部分系の値関数を組み合わせることで、解を正確に再構成する。これらの集合はハミルトニアンの符号に基づいて状態空間を分割する。
• このアプローチは、これらの集合が時間に対して不変であることに依存しており、粘性解の勾配に関する連続性と背理法による証明により保証される。
• L1000やLevel Set Toolboxに含まれる標準的なHJソルバと互換性があるため、実装が容易である。
• 終端条件l(z)を用いてターゲット集合を定義し、時間後向きに到達可能な集合を値関数V(t,z)の下位集合として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算効率を犠牲にすることなく、高次元の分離可能な系に対して正確な到達集合を計算可能か？
• RQ2 高次元HJ PDEを独立した低次元PDEに分解しても、解の正確性が保持可能か？
• RQ3 分離可能な部分系の解から、完全なHJ PDEの解を正確に再構成する方法は何か？
• RQ4 どのような構造的性質が、正確かつ効率的な到達可能性計算を可能にするか？
• RQ5 提案手法は、近似到達可能性手法に内在する複雑さと最適性のトレードオフを解消できるか？

主な発見

• 提案手法は、低次元部分系の解のみを用いて、高次元HJ PDEの解を正確に再構成する。
• 全次元グリッドを避けることで、計算時間とメモリ使用量を顕著に削減する。
• 解は正確かつ最適であり、高次元到達可能性においてしばしば生じる保守的な近似手法の欠陥を回避する。
• 集合𝒻₁(t)と𝒻₂(t)の時間的不変性により、分解が一貫しており、正確な再構成が可能である。
• 数値例により、本手法の正確性と計算上の利点が、従来のHJ到達可能性アプローチよりも顕著に示された。
• 既存の数値ツールと互換性があるため、ロボット工学や制御応用分野における実用的導入が可能である。