[論文レビュー] Exact and quasi-exact solvability of two-dimensional superintegrable quantum systems. I. Euclidean space

E. G. Kalnins, Willard Miller+1 more|ArXiv.org|Dec 11, 2004

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 57被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元ユークリッド空間における超可積分量子系における可解性の新しい分類を提示する。シュレーディンガー方程式の解の性質に基づき、正確可解（ES）と準正確可解（QES）を区別する。この分類により、変数分離法を用いることで、超幾何関数を用いて解かれるES問題と、高次再帰関係を満たす多項式解を持つQES問題が得られ、N=2およびN=3系の明示的例を通じて、代数的方程式によるスペクトルの量子化が示される。

ABSTRACT

In this article we show that separation of variables for second-order superintegrable systems in two-dimensional Euclidean space generates both exactly solvable (ES) and quasi-exactly solvable (QES) problems in quantum mechanics. In this article we propose the another definition of ES and QES. The quantum mechanical problem is called ES if the solution of Schroedinger equation, can be expressed in terms of hypergeometrical functions $_mF_n$ and is QES if the Schroedinger equation admit polynomial solutions with the coefficients satisfying the three-term or more higher order of recurrence relations

研究の動機と目的

• 2次元ユークリッド空間における正確可解（ES）および準正確可解（QES）量子系を再定義し分類すること。
• 2次超可積分系における変数分離から生じるESおよびQES問題を体系的に特定するフレームワークを確立すること。
• 分離された方程式における多項式解が、係数が3項またはそれ以上の再帰関係を満たす場合にQES系に対応することを示すこと。
• QES系においてエネルギーおよび分離定数が代数的方程式により量子化されることを示し、特に一般化ラメ方程式においてその特徴を明らかにすること。
• 区間の数および再帰構造に基づき、完全な、部分的な、および高次QES系を区別すること。

提案手法

• シュレーディンガー方程式の解が一般化超幾何関数 ${}_{m}F_{n}$ で表現可能な系をES系と定義する。
• 係数が3項またはそれ以上の再帰関係を満たす多項式解を許容する系をQES系と定義する。
• 2次元ユークリッド空間における2次超可積分系に変数分離法を適用し、常微分方程式を導出する。
• N=2およびN=3における一般化ラメ方程式（192）を解析し、固有関数の有限性が多項式解および量子化されたエネルギー固有値に繋がることを示す。
• 再帰関係を用いてエネルギーおよび分離定数に対する代数的制約を導出し、過剰系を用いることで必要な行列式条件の数を削減する。
• 多項式解が(N+1)項再帰関係によって決定される場合、N次QES系と分類し、代数的方程式から数値的にスペクトルを求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元超可積分系における正確可解および準正確可解量子系を体系的に区別する方法は何か？
• RQ2 3次以上の再帰関係が準正確可解性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 複数の区間における波動関数の有限性の要請が、エネルギーおよび分離定数の量子化にどのように寄与するか？
• RQ4 分離変数における多項式解と再帰関係の構造との間の関係は何か？
• RQ5 再帰項の数および得られる代数系の可解性に基づいて、高次QES系を分類可能か？

主な発見

• N=2の場合、一般化ラメ方程式は1次準正確可解系をもたらし、多項式解（ラメ多項式）が3項再帰関係を満たし、エネルギー準位 $E = \ell(\ell+1)/R^2$ が量子化される。
• N=3の場合、系は2次準正確可解となる。多項式解は4項再帰関係から得られ、分離定数 $\lambda_1(R)$ および $\lambda_2(R)$ のスペクトルは2つの代数方程式を解くことで特定される。
• すべての区間 $(a_1,a_2), (a_2,a_3), (a_3,a_4)$ における固有関数の有限性の要請が、多項式解およびエネルギー・分離定数の量子化をもたらす。
• N=3の場合、展開係数に関する同次方程式の過剰系は、非自明解の存在に必要な十分な2つの行列式条件に簡略化される。
• 本稿では、再帰構造および解の有限性に基づき、正確可解、準正確可解、部分的準正確可解、非正確可解の階層的分類を確立する。
• この分類はN次QES系へと拡張され、多項式解は(N+1)項再帰関係に従い、スペクトルは代数方程式から数値的に得られる。