[論文レビュー] Exact Area Law for Planar Loops in Turbulence in Two and Three Dimensions

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元および3次元乱流内における平面ループ内の循環の正確な面積則を確立し、スケーリング指数 α = 1/2 のとき、循環の2次モーメントがループが囲む面積に正確に還元されることを証明する。解法は、平均曲率がゼロである最小曲面に依拠し、ストークス条件を正確に満たす。非平面ループへの拡張は、渦度発散制約を保ちながら相関構造を変更する自己無撞着な共形計量を用いて行われる。

ABSTRACT

We study properties of the minimal surface in the Area Law Solution \cite{M93}, \cite{M19a}, \cite{M19b}. We find out that Area Law holds exactly for 2D turbulence as well as for arbitrary planar loop in higher dimensions. This relies on our previous result $α= \frac{1}{2}$ in which case the second moment of circulation can be proven to reduce to the area inside the planar loop. In $d=3$, we demonstrate how the Stokes condition $\partial_i ω_i(r)=0$ is exactly satisfied for the minimal surface solution in virtue of vanishing mean curvature at the minimal surface. In order to satisfy Loop Equation beyond planar loops, we introduce self-consistent conformal metric on the surface designed to preserve Stokes condition but to compensate the terms in the loop equation. We derive nonlinear integral equation for this conformal metric as a function of a point on a surface.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元乱流における平面ループ内の循環の面積則の正確な有効性を確立すること。
• スケーリング指数が α = 1/2 のとき、循環の2次モーメントが正確に囲まれた面積に還元されることを示すこと。
• 自己無撞着な共形計量を導入することで、最小曲面解を平面ループを超えて拡張し、ストークス条件を保持すること。
• 曲面におけるループ方程式と整合する共形計量の非線形積分方程式を導出すること。
• 高次循環モーメントの振る舞いとスケーリングを解析し、特にコルゴゴロフのK41理論および実験的観察ととの関係を検討すること。

提案手法

• 正則化された面積汎関数を用いて最小曲面解を導出する。ガウスカーネル Δ(r) = r₀⁻² exp(−πr²/r₀²) を用い、r₀ → 0 のときデルタ関数に近づく。
• 表面の変分を用いて面積の微分を計算し、δA_C/δσ_i(r) → 2n_i(r̃)exp(−πr⊥²/r₀²) を得る。ここで n_i は表面の最近接点における法線ベクトルである。
• d=3 の場合、最小曲面における平均曲率がゼロであるため、ストークス条件 ∂_iω_i(r) = 0 が正確に満たされることが示される。
• 非平面ループに対しては、渦度相関構造がループ方程式と整合するように、自己無撞着な共形計量 φ を導入する。
• ループ方程式の整合性を保証するため、表面上の位置関数としての共形計量 φ に対する非線形積分方程式 (50) を導出する。
• 漸近展開を用いて循環モーメントのスケーリングを解析し、3次モーメントおよびそれ以上の高次モーメントの対称性と実験データとの整合性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および3次元乱流における平面ループに対して、面積則は正確に成立するか？
• RQ2 3次元乱流において、最小曲面解がストークス条件 ∂_iω_i(r) = 0 をどのように満たすか？
• RQ3 ループ方程式およびストークス条件を保持しながら、最小曲面解を非平面ループに拡張可能か？
• RQ4 曲面に対してループ方程式の整合性を保証する共形計量の関数的形は何か？
• RQ5 循環モーメントのスケーリング指数は、コルゴゴロフのK41理論および実験的観察とどのように一致するか？

主な発見

• スケーリング指数が α = 1/2 のとき、2次元および3次元乱流における平面ループに対して、面積則が正確に成立し、循環の2次モーメントが正確に囲まれた面積に還元される。
• 3次元では、最小曲面解において平均曲率がゼロであるため、ストークス条件 ∂_iω_i(r) = 0 が正確に満たされる。
• 非平面ループに対しては、渦度相関構造を変更するがストークス条件を保持する自己無撞着な共形計量 φ が導出された。
• 共形計量は非線形積分方程式 (50) を満たし、曲面におけるループ方程式の整合性を保証する。
• 循環モーメントのスケーリングは、⟨|Γ|^p⟩ ∝ √A_C^λ(p) と表され、大規模な A_C において λ(p) ≈ p + 0.92 ln p となる。これは線形成長に対数補正が加わっていることを示唆する。
• この解法はコルゴゴロフのK41理論とは異なり、実験データは2次モーメントの弱い周囲長依存性を示しており、K41スケーリングに一致するが、面積則とは一致しない。これは、面積則がより大きなスケールまたは一時的状態で支配的である可能性を示唆している。