[論文レビュー] Exact bounds for dynamical critical exponents of transverse-field Ising chains with a correlated disorder

Tatsuhiko Shirai, Shu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Quantum many-body systems参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、隣接する結合強度 $ J_{i-1} $ と $ J_i $ に依存する横磁場 $ \Gamma_i $ を持つ1次元横磁場イジング模型における力学的臨界指数 $ z $ の正確な上限・下限を解析的に導出する。非相関的不純度（$ z = \infty $）とは異なり、相関的不純度では $ z $ が有限となる。弱不純度領域では $ z = 1 $、強不純度領域では $ \max\left(D\left(\frac{1}{2} + |s - \frac{1}{2}|\right) + \frac{1}{2}, 1\right) \leq z \leq D + 1 $ となり、調整パrameter $ s $ に依存する。数値結果は、$ z $ が調整プロセスに依存することを確認し、非相関的ケースとは明確に区別される。

ABSTRACT

This study investigates the dynamical critical exponent of disordered Ising chains under transverse fields to examine the effect of a correlated disorder on quantum phase transitions. The correlated disorder, where the on-site transverse field depends on the nearest-neighbor coupling strengths connecting the site, gives a qualitatively different result from the uncorrelated disorder. In the uncorrelated disorder cases where the transverse field is either homogeneous over sites or random independently of the nearest-neighbor coupling strengths, the dynamical critical exponent is infinite. In contrast, in the presence of the correlated disorder, we analytically show that the dynamical critical exponent is finite. We also show that the dynamical critical exponent depends on the tuning process of the transverse field strengths.

研究の動機と目的

• 相関的不純度（横磁場 $ \Gamma_i $ が近隣結合強度に依存する）が1次元イジング模型における量子臨界現象に与える影響を調査すること。
• 非相関的不純度と同様に、力学的臨界指数 $ z $ が無限大のままか、相関に起因する不純度によって有限に変わるかを特定すること。
• 弱不純度および強不純度領域における $ z $ の正確な境界を解析的に導出し、横磁場の調整プロセスへの依存性を検討すること。
• 非相関的不純度モデル（$ z = \infty $）と対比し、相関が臨界挙動をどのように変化させるかを明確にすること。

提案手法

• スピンハミルトニアンをジョルダン＝ヴァイナー変換により二次的フェルミオンハミルトニアンに写像し、ボゴリウボフ変換を用いた正確な対角化が可能となる。
• エネルギーギャップ $ \Delta = \Lambda_1 $（最小準粒子エネルギー）を特徴的なエネルギースケールとして用い、$ \Delta \sim \xi^{-z} $ の関係から $ z $ を決定する。ここで $ \xi $ は相関長である。
• 弱不純度領域では、結合強度 $ J_i $ が $ (J^{(0)}, 1] $ に一様分布し、$ J^{(0)} > 0 $ である。横磁場は $ \Gamma_i = s \cdot \text{mean}(J_{i-1}, J_i) $ で調整され、$ s \in [0,1] $ である。
• 強不純度領域では、$ J_i $ がべき則分布 $ \rho(J) \propto J^{-D} $ に従い、$ \Gamma_i $ も同様に $ s $ を用いて調整され、$ D $ が不純度強度を制御する。
• 変換されたハミルトニアン行列 $ M = (A - B)(A + B) $ の固有値解析を用いて $ z $ の解析的境界を導出し、ギャップ $ \Lambda_1 $ は最小固有値から計算される。
• 正確な対角化を用いた数値シミュレーションにより、特に強不純度領域で解析的境界が妥当であることを検証し、相関関数のフィッティングから $ \xi $ と $ \bar{\xi} $ を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横磁場 $ \Gamma_i $ が $ J_{i-1} $ と $ J_i $ に依存する相関的不純度は、非相関的ケース（$ z = \infty $）とは異なり、力学的臨界指数 $ z $ を有限にすると予想されるか？
• RQ2 べき則分布における $ J_i \sim J^{-D} $ のパラメータ $ D $ で特徴づけられる不純度の強さに応じて、$ z $ の値はどのように変化するか？
• RQ3 横磁場の調整プロセス（パrameter $ s $ を用いて）が $ z $ の値に影響を及ぼすか、その影響の仕組みは何か？
• RQ4 非相関的ケースとは異なり、相関的不純度領域では平均相関長 $ \xi $ と典型相関長 $ \bar{\xi} $ が一致するか？
• RQ5 この相関的不純度モデルにおいて、弱不純度および強不純度領域の両方で $ z $ の正確な解析的境界を導出できるか？

主な発見

• 弱不純度領域（$ J_i \in (J^{(0)}, 1] $、$ J^{(0)} > 0 $）では、力学的臨界指数は調整パrameter $ s $ に依存せず、正確に $ z = 1 $ に固定される。
• べき則分布 $ J_i \sim J^{-D} $ に従う強不純度領域では、$ z $ は不等式 $ \max\left(D\left(\frac{1}{2} + |s - \frac{1}{2}|\right) + \frac{1}{2}, 1\right) \leq z \leq D + 1 $ を満たし、$ s $ と $ D $ に明示的な依存性を示す。
• 数値解析により、$ z $ が調整プロセスに依存することが確認された。$ s $ の異なる値では異なる $ z $ が得られ、非一様臨界挙動が示された。
• 強不純度領域では、平均相関長 $ \xi $ と典型相関長 $ \bar{\xi} $ が一致し、$ \nu = \bar{\nu} = 1 $ となる。非相関的ケースとは対照的に、$ \nu = 2 $、$ \bar{\nu} = 1 $ となる。
• 結果として、相関的不純度が臨界挙動を本質的に変化させ、非相関的不純度とは異なり有限の $ z $ をもたらすことが示された。一方、非相関的不純度ではグリフィス＝マコーリー特異性により $ z = \infty $ となる。
• 本研究は、この相関的不純度モデルにおける $ z $ の正確な境界を初めて解析的に導出したものであり、従来の数値的研究とは明確に区別される。