[論文レビュー] Exact bounds on the amplitude and phase of the interval discrete Fourier transform in polynomial time

Marco de Angelis|arXiv (Cornell University)|May 27, 2022

Numerical Methods and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、区間離散フーリエ変換（DFT）の振幅および位相の正確な境界を計算する多項式時間アルゴリズムの数学的基盤を確立する。入力の不確実性を区間としてモデル化し、複素数の区間対角線のミンコフスキー和を用いることで、区間演算における依存性問題を完全に解消し、各調波成分について厳密かつ凸である合同集合を保証する。これにより、複素数値DFT計算における検証可能で正確な振幅および位相の境界が可能になる。

ABSTRACT

We elucidate why an interval algorithm that computes the exact bounds on the amplitude and phase of the discrete Fourier transform can run in polynomial time. We address this question from a formal perspective to provide the mathematical foundations underpinning such an algorithm. We show that the procedure set out by the algorithm fully addresses the dependency problem of interval arithmetic, making it usable in a variety of applications involving the discrete Fourier transform. For example when analysing signals with poor precision, signals with missing data, and for automatic error propagation and verified computations.

研究の動機と目的

• 区間DFTの振幅および位相の境界を正確に計算するための形式的数学的基盤を提供すること。
• 入力の不確実性がある状況下でDFTを計算する際の区間演算における依存性問題に対処すること。
• 区間DFTの合同集合が凸であり、ネストされたミンコフスキー加法によって計算可能であることを示すこと。
• 正確かつ検証可能な計算を、不正確、欠損、または不確実なデータを含む信号処理応用に可能にする。
• DFTに基づく信号解析における自動誤差伝播および検証可能な数値計算を支援すること。

提案手法

• 入力信号をℝ^Nにおける区間ベクトルとしてモデル化し、境界付き区間を用いて不確実性を表現する。
• DFTを、区間値をとる入力と固定された複素数フーリエ係数を含む複素内積として表現する。
• DFT和の各項を、複素平面上の複素数区間対角線（2つの頂点を持つ凸多角形）として表現する。
• これらの区間対角線のネストされたミンコフスキー加法を用いて、DFT出力の合同集合を構築する。
• ミンコフスキー加法の性質を用いて、ℂにおける結果の合同集合の凸性と正確性を保証する。
• 線形時間で合同集合の頂点を計算するために命題4.13を適用し、高コストな凸包計算を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力の不確実性がある状況下でDFTを計算する際、区間演算における依存性問題を完全に解消することは可能か？
• RQ2 入力の不確実性がある状況下で、DFTの振幅および位相の正確な境界を多項式時間で計算することは可能か？
• RQ3 区間DFTの合同集合はどのような幾何的構造を示し、どのように特徴づけられるか？
• RQ4 複素数の区間対角線のミンコフスキー和を用いて、DFT出力の全範囲をどのように表現できるか？
• RQ5 合同集合全体にわたり、DFTの位相が適切に定義されるためにはどのような条件を満たす必要があるか？

主な発見

• 区間DFTの合同集合は、複素平面上の凸多角形であり、振幅および位相の正確かつ厳密な境界を保証する。
• 合同集合は、複素数の区間対角線のネストされたミンコフスキー加法として計算可能であり、完全な依存関係情報を保持する。
• 合同集合の頂点数は最大2N個であり、ミンコフスキー加法アルゴリズムを用いることで線形時間で頂点を計算可能である。
• 本手法は区間演算における依存性問題を完全に解消し、検証可能で正確なDFT計算を可能にする。
• 合同集合が原点を含む場合、位相は定義されないが、凸集合の幾何的性質を用いて検出可能である。
• 本アプローチは自動誤差伝播をサポートし、精度が低いまたは欠損しているデータを含む信号に適用可能である。