[論文レビュー] Exact computation of joint spectral characteristics of linear operators

Nicola Guglielmi, Vladimir Yu. Protasov|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2011

Matrix Theory and Algorithms被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、極値ノルムと反ノルムを用いて、有限個の行列族の結合スペクトル半径（JSR）および下位スペクトル半径（LSR）を正確に計算する初のアルゴリズムを提示する。この手法は反復的頂点生成による多面体ノルムを構築し、適切な条件下で有限時間収束を達成し、収束が即時でない場合でもタイトな境界を提供する。

ABSTRACT

We address the problem of the exact computation of two joint spectral characteristics of a family of linear operators, the joint spectral radius (in short JSR) and the lower spectral radius (in short LSR), which are well-known different generalizations to a set of operators of the usual spectral radius of a linear operator. In this article we develop a method which - under suitable assumptions - allows to compute the JSR and the LSR of a finite family of matrices exactly. We remark that so far no algorithm was available in the literature to compute the LSR exactly. The paper presents necessary theoretical results on extremal norms (and on extremal antinorms) of linear operators, which constitute the basic tools of our procedures, and a detailed description of the corresponding algorithms for the computation of the JSR and LSR (the last one restricted to families sharing an invariant cone). The algorithms are easily implemented and their descriptions are short. If the algorithms terminate in finite time, then they construct an extremal norm (in the JSR case) or antinorm (in the LSR case) and find their exact values; otherwise they provide upper and lower bounds that both converge to the exact values. A theoretical criterion for termination in finite time is also derived. According to numerical experiments, the algorithm for the JSR finds the exact value for the vast majority of matrix families in dimensions less than 20. For nonnegative matrices it works faster and finds JSR in dimensions of order 100 within a few iterations; the same is observed for the algorithm computing the LSR. To illustrate the efficiency of the new method we are able to apply it in order to give answers to several conjectures which have been recently stated in combinatorics, number theory, and the theory of formal languages.

研究の動機と目的

• 文献において既に正確な計算手法が存在しなかった、下位スペクトル半径（LSR）を正確に計算する初のアルゴリズムの開発。
• 有限行列族に対する結合スペクトル半径（JSR）の正確な計算を可能にするために、極値ノルムの理論を拡張すること。
• 反復的頂点生成による多面体上での極値ノルム（JSR用）および極値反ノルム（LSR用）の構築を実行可能かつ計算的に効率的な方法として提供すること。
• アルゴリズムが有限時間で停止する理論的条件を確立し、正確な計算を保証すること。
• 組合せ論、数論、形式言語分野における未解決の予想を解消するためにこの手法を応用し、実用的有用性を示すこと。

提案手法

• 初期ベクトルに対する行列の作用を通じて反復的に多面体の頂点を生成することで、極値ノルム（JSR用）または極値反ノルム（LSR用）を構築する。
• 結合スペクトル半径に等しいスケーリング係数を除き、行列族の作用に関して不変であるノルムである極値ノルムの概念を用いる。
• LSRの場合は、共通の不変錐を持つ行列族に適用可能であり、乗法的性質を満たし、行列族の作用に関して不変である極値反ノルムを用いる。
• 行列を現在の頂点に作用させ、新たな頂点を追加することで、極値ノルムまたは反ノルムの近似を改善する多面体の列を生成する。
• 各反復で更新されるJSRおよびLSRの上界と下界を用いて収束をモニタリングし、これらが正確な値に収束する。
• 行列作用の下で有限不変多面体が存在するという理論的基準に基づき、有限時間停止の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献に正確なアルゴリズムが存在しないため、有限行列族の下位スペクトル半径（LSR）を正確に計算できるか。
• RQ2 極値ノルムまたは反ノルムの反復的構築が、どのような条件下で有限時間で停止するか。
• RQ3 高次元の行列族に対して、極値ノルムおよび反ノルムを効果的に構築する方法は何か。
• RQ4 提案手法が、組合せ論、数論、形式言語分野におけるスペクトル半径を含む未解決の予想を解消できるか。
• RQ5 特に非負行列や高次元において、実用的な計算効率はどの程度か。

主な発見

• 次元20までの多くの行列族に対して、本アルゴリズムは結合スペクトル半径（JSR）を正確に計算可能である。
• 非負行列に対しては、JSRの計算が急速に収束し、次元100ですら数回の反復で正確な結果が得られる。
• 共通の不変錐を持つ行列族に対してLSRの計算は正確であり、有限収束が成立しない場合でもタイトな上界と下界を提供する。
• 組合せ論、数論、形式言語分野における複数の未解決予想が、正確なスペクトル半径値の提供により解決された。
• 有限時間収束の理論的条件が導出され、数値実験により境界が正確なJSRおよびLSR値に収束することが確認された。
• 特定の積行列のスペクトル半径の11乗根として、行列ペアに対する極値無限多面体の構築により、正確なJSRが確認された。